[Risolto] problema parabola

@nicolarox

Ciao e benvenuto.

Determino il punto A di tangenza della parabola con la retta data.

2·x + y - 8 = 0 per  x= 6------> 2·6 + y - 8 = 0----> y = -4

A(6,-4)

Riscrivo la retta data: y = 8 - 2·x

che confronterò con quello che si dovrebbe ottenere applicando le formule di sdoppiamento alla parabola da determinare:

y = a·x^2 + b·x + c

quindi come detto:

(y - 4)/2 = a·(6·x) + b·(x + 6)/2 + c

y = x·(12·a + b) + 6·b + 2·c + 4

Tale confronto permette di scrivere il sistema.

{12·a + b = -2

{6·b + 2·c + 4 = 8

Dalla prima: b = - 12·a - 2 che sostituita nella seconda:6·(- 12·a - 2) + 2·c + 4 = 8

Quindi: 36·a - c = -8-------> c = 36·a + 8

Questo permette di scrivere la parabola nella sola incognita a che metto a sistema con asse x:

{y = a·x^2 + (- 12·a - 2)·x + (36·a + 8)

{y = 0

quindi: a·x^2 + (- 12·a - 2)·x + (36·a + 8) = 0

Applico la condizione di tangenza:Δ/4 = 0

(- 6·a - 1)^2 - a·(36·a + 8) = 0------> (36·a^2 + 12·a + 1) - (36·a^2 + 8·a) = 0

Quindi: 4·a + 1 = 0-----> a = - 1/4

La parabola è: y = (- 1/4)·x^2 + (- 12·(- 1/4) - 2)·x + (36·(- 1/4) + 8)

y = - x^2/4 + x - 1

L'asse ha equazione: x = - b/(2·a) nel nostro caso: x = - 1/(2·(- 1/4))  

x = 2

Quindi il punto assegnato P(2,1) sta sull'asse.

Determiniamo le due tangenti alla parabola da P

Determino la polare alla parabola trovata applicando le formule di sdoppiamento

(y + 1)/2 = - 1/4·(2·x) + (x + 2)/2 - 1--------> y = -1

Metto a sistema la polare con la parabola.

{y = - x^2/4 + x - 1

{y = -1

Determino i punti di tangenza risolvendo il sistema di sopra:

[x = 0 ∧ y = -1, x = 4 ∧ y = -1]

Le rette tangenti sono:

in [0, -1]-------> (y - 1)/2 = - 0·x/4 + (x + 0)/2 - 1-----> y = x - 1

in [4, -1]-----> (y - 1)/2 = - 1/4·(4·x) + (x + 4)/2 - 1-----> y = 3 - x

I coefficiente angolari di tali rette sono antireciproci: ciò indica che tale rette sono perpendicolari in P(2,1)

CHE STRANO CHE VOI NATIVI DIGITALI NON RIUSCIATE AD ALLEGARE UNA FOTO DECENTE
* ripresa di fronte e non di sbieco
* col foglio piatto e non incurvato
* illuminata uniformemente senza riflessi e zone più o meno scure
* inquadrando il solo esercizio d'interesse e non tutto il foglio
* allegata per dritto e non di traverso
* e, soprattutto, leggibile a prima vista.
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La tangente
* t ≡ 2*x + y - 8 = 0 ≡ y = 8 - 2*x
all'ascissa x = 6 passa per il punto di tangenza T(6, - 4).
Perciò la richiesta parabola deve:
* passare per T(6, - 4);
* tangere y = 0;
* tangere y = 8 - 2*x;
e queste tre condizioni non impongono vincoli sufficienti a dare UNA parabola.
Invece, per poter rispondere ai quesiti (a, b, c), occorre potersi riferire a una sola parabola.
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Ad esempio
* y = - (x - 2)^2/4
* 4*x^2 - 4*x*y + y^2 + 64*y = 0
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D0%2Cy%3D8-2*x%2Cy%3D-%28x-2%29%5E2%2F4%2C4*x%5E2-4*x*y%2By%5E2%2B64*y%3D0%5Dx%3D-43to43%2Cy%3D-43to3
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Se decidi di specificare ulteriori vincoli (magari scritti in testa al gruppo di esercizi) sarò felice di specificare a mia volta una risposta completa.