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Problema Logaritmi

  

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Il numero dei donatori di organi in Italia è cresciuto negli ultimi anni passando da 20,8 nel 2004 a 28,7 nel 2017. Assumendo una crescita di tipo esponenziale, quale sarà il numero di donatori per milione nel 2025? In quale anno si avranno 100 donatori per milione di popolazione? 

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@giovannberaldi

Ciao e benvenuto.

Assumiamo come funzione : y = c·e^(λ·t)

con c e λ costanti da determinare.

per t =0 (anno 2004):  y = 20.8

per t = 13 (anno 2017) : y = 28.7

Quindi si ha: 20.8 = c·e^(λ·0)------ >c = 104/5

quindi: 28.7 = 104/5·e^(λ·13)------> λ = LN(287/208)/13-----> λ = 0.02476493354

Quindi la funzione è: y = 104/5·e^(0.02476493354·t)

nell'anno 2025 avremo: t = 2025 - 2004 = 21

y = 104/5·e^(0.02476493354·21)----> y = 34.98840045 circa 35

La numerosità passa a 100 quando sono passati t anni:

100 = 104/5·e^(0.02476493354·t)

si risolve e si ottiene: t = 63.40486223

Quindi si avrà tale risultato nell'anno 2067 (=2004+63)

I risultati sono espressi come donatori y per milione



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28,7 pm = 20,8^((21-4)*k)

ln28,7 = 13*k*ln20,8

k = (3,35690-3,03495)/13 = 0,02476493

 

ln n' = k*Δt'*ln 20,8

n' = 20,8*e^(k*Δt') = 20,8*e^(0,02476493*(25-4)) = 35,0 pm 

 

pongo k*Δt'' = m

100 = 20,8*e^m

ln(100/20,8) = m*ln e

poiché ln e = 1 si ha : 

m = ln(100/20,8) = 1,570 = 0,02476493*Δt''

Δt'' = 1,570 / 0,02476493 = 63,40 anni 

l'anno cercato sarà 2004+63,40 = 2067 + 5 mesi circa 



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Si tratta di una interpolazione esponenziale 

Per semplificare, assumi come tempo zero il 2004 : allora n(0) = 20.8 e n(13) = 28.7 

n(t) = A * B^t 

20.8 = A * B^0 = A

28.7 = A * B^13 = 20.8 * B^13

 

allora B = rad_13(28.7/20.8) = 1.025074 

n(t) = 20.8 * 1.025074^t 

 

Nel 2025    n(21) = 20.8*1.025074^21 = 34.9884 => circa 35 

e    20.8 * 1.025074^T = 100 

T = log_1.025074   (100/20.8) = log 4.807692/log 1.025074 = 63.40

2004 + 63 = 2067



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Immagino che "per milione" si debba intendere anche nel primo periodo, se no i successivi perdono di significato.
Se così non è, devi riscrivere il testo in forma coerente.
Altrimenti un possibile modello del fenomeno, dichiarato di "crescita esponenziale", è
* d(t) = D*2^(t/τ)
dove
* t = anno - 2004 = istante d'osservazione in anni
* d = donatori in ppm
* D = d(0)
* τ = tempo di raddoppio in anni
------------------------------
Le condizioni d'appartenenza dei punti dati consentono di stimare le due costanti del modello
---------------
"20,8 nel 2004" ≡
≡ (t = 2004 - 2004 = 0) & (D = d(0) = 20,8 = 104/5 ppm)
---------------
"28,7 nel 2017" ≡
≡ (t = 2017 - 2004 = 13) & (d(13) = (104/5)*2^(13/τ) = 287/10)
da cui
* τ = 13/log(2, 287/208) ~= 28 anni
------------------------------
Sulla base del modello ottenuto
* d(t) = (104/5)*2^(log(2, 287/208)*t/13)
si calcolano le RISPOSTE AI QUESITI.
---------------
A) "quale sarà il numero di donatori per milione nel 2025?"
* t = 2025 - 2004 = 21
* d(21) = (104/5)*2^(log(2, 287/208)*21/13) ~= 34.988 ~= 35
---------------
B) "In quale anno si avranno 100 donatori per milione?"
* d(x - 2004) = (104/5)*2^(log(2, 287/208)*(x - 2004)/13) = 100 ≡
≡ x ~= 2067.4 ~= 25 maggio 2067, poco prima delle sette e mezza di sera: praticamente il 26.



Risposta




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