Disequazione logaritmica

LOG(9,x + 2) - LOG(9,x^2 - 7·x + 12) ≤ LOG(9,1/(x - 2)) + 1/2

Determino il C.E.:

{x + 2 > 0

{x^2 - 7·x + 12 > 0-----> (x - 3)·(x - 4) > 0

{1/(x - 2) > 0

Quindi:

{x > -2

{x < 3 ∨ x > 4

{x > 2

Soluzione: [2 < x < 3, x > 4]

Riprendo la disequazione ed applico ad essa i teoremi.

LOG(9,x + 2) - LOG(9,(x - 3)·(x - 4)) - LOG(9,1/(x - 2)) ≤  1/2

LOG(9,(x + 2)·(x - 2)/((x - 3)·(x - 4))) ≤ 1/2

(x + 2)·(x - 2)/((x - 3)·(x - 4)) ≤ 9^(1/2)

(x + 2)·(x - 2)/((x - 3)·(x - 4)) - 3 ≤ 0

(x^2 - 4)/(x^2 - 7·x + 12) - 3 ≤ 0

(2·x^2 - 21·x + 40)/(- x^2 + 7·x - 12) ≤ 0

(2·x^2 - 21·x + 40)/(x^2 - 7·x + 12) ≥ 0

(x - 8)·(2·x - 5)/((x - 3)·(x - 4)) ≥ 0

Segno N(x):

(x - 8)·(2·x - 5) ≥ 0----> x ≤ 5/2 ∨ x ≥ 8

Segno D(x):

(x - 3)·(x - 4) > 0-----> x < 3 ∨ x > 4

La soluzione della disequazione fratta così ottenuta si deve mettere a sistema con le C.E. previdentemente dette inizialmente:

{3 < x < 4 ∨ x ≤ 5/2 ∨ x ≥ 8

{2 < x < 3 ∨ x > 4

La soluzione di tale sistema costituisce la soluzione della disequazione logaritmica:

[2 < x ≤ 5/2, x ≥ 8]