[Risolto] problema geometria sui fasci di parabole

@saramaggi1

Ciao di nuovo. Generatrici del fascio:

{y = x^2 + 4·x

{y = - x^2 + 2·x

Riscriviamole nella forma implicita:

{y - x^2 - 4·x = 0

{y + x^2 - 2·x = 0

Facciamo una combinazione lineare delle 2 equazioni:

y - x^2 - 4·x + k·(y + x^2 - 2·x) = 0

che riscriviamo: x^2·(k - 1) - x·(2·k + 4) + y·(k + 1) = 0 ed esplicitiamo rispetto ad y:

y = x^2·(1 - k)/(k + 1) + 2·x·(k + 2)/(k + 1)

Quindi con k + 1 ≠ 0 ossia per k ≠ -1 abbiamo delle parabole con asse parallelo asse y e passanti per l'origine perché mancanti del termine costante.

Tali parabole degenerano in una retta per quel valore di k tale per cui:

(1 - k)/(k + 1) = 0-------> k=1

y = x^2·(1 - 1)/(1 + 1) + 2·x·(1 + 2)/(1 + 1)------> y = 3·x

Che è retta passante per i due punti che rappresentano la soluzione del sistema delle due generatrici.

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Siccome l'asse di tali parabole ha equazione: x = - b/(2·a) deve essere b = 0 che nel nostro caso si scrive:

2·(k + 2)/(k + 1) = 0------> k = -2

che corrisponde alla parabola: y = x^2·(1 - (-2))/(-2 + 1) + 2·x·(-2 + 2)/(-2 + 1);

y = - 3·x^2

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Per una parabola del tipo: y=ax^2+bx+c il fuoco ha coordinate: F(- b/(2·a), (1 - Δ)/(4·a))

Se si vuole il fuoco sull'asse delle x deve essere y=0-------> 1 - Δ = 0------> Δ = 1

(b^2=1 con c=0)

Δ = (2·(k + 2)/(k + 1))^2----->  4·(k + 2)^2/(k + 1)^2 = 1

Risolvendo si ottiene: k = - 5/3 ∨ k = -3 che forniscono due parabole:

y = x^2·(1 - - 5/3)/(- 5/3 + 1) + 2·x·(- 5/3 + 2)/(- 5/3 + 1)

y = - 4·x^2 - x

y = x^2·(1 - -3)/(-3 + 1) + 2·x·(-3 + 2)/(-3 + 1)

y = x - 2·x^2

 

 

 

Le parabole date
* Γ1 ≡ y = x^2 + 4*x ≡ x^2 + 4*x - y = 0
* Γ2 ≡ y = 2*x - x^2 ≡ x^2 - 2*x + y = 0
hanno in comune, oltre alla direzione degli assi di simmetria, paralleli all'asse y, anche due intersezioni in A(- 1, - 3) e in O(0, 0); quindi il loro fascio, parametrizzato dai due coefficienti (m != n) non entrambi nulli, è
* Γ(m, n) ≡ m*(x^2 + 4*x - y) + n*(x^2 - 2*x + y) = 0 ≡
≡ y = (m + n)*(x + (2*(2*m - n))/(m + n))*x/(m - n) ≡
≡ y = ((m + n)/(m - n))*x^2 + 2*((2*m - n)/(m - n))*x ≡
≡ y = ((m + n)/(m - n))*(x + (2*m - n)/(m + n))^2 - (2*m - n)^2/(m^2 - n^2)
dove
* la forma #1 è la definizione di fascio;
* la forma #2 evidenzia gli zeri: x = 0 oppure x = - (2*(2*m - n))/(m + n)
* la forma #3 è la normale parabola esplicita
* la forma #4 evidenzia l'apertura e le coordinate del vertice
** a = (m + n)/(m - n) != 0
** xV = - (2*m - n)/(m + n)
** yV = - (2*m - n)^2/(m^2 - n^2)
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a) Per a = 0 ≡ n = - m != 0
* Γ(m, - m) ≡ y = ((m - m)/(m + m))*x^2 + 2*((2*m + m)/(m + m))*x ≡
≡ y = 3*x
che è la retta AO.
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b) Per xV = 0 ≡ n = 2*m
* Γ(m, 2*m) ≡ y = ((m + 2*m)/(m - 2*m))*x^2 + 2*((2*m - 2*m)/(m - 2*m))*x ≡
≡ y = - 3*x^2
che, con vertice O(0, 0) e fuoco F(0, - 1/12), ha l'asse y per asse di simmetria.
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c) Il fuoco è F(xV, yV + 1/(4*a)); quindi per averlo sull'asse x occorre risolvere
* yF = 0 ≡ yV + 1/(4*a) = 0 ≡
≡ - (2*m - n)^2/(m^2 - n^2) + 1/(4*(m + n)/(m - n)) = 0 ≡
≡ (n - 3*m)*(5*m - 3*n)/(4*(m^2 - n^2)) = 0 ≡
≡ (n = (5/3)*m) & (m != 0) oppure (n = 3*m) & (m != 0)
da cui due parabole che soddisfanno alla condizione
* Γ(m, (5/3)*m) ≡ y = (m + (5/3)*m)*(x + (2*(2*m - (5/3)*m))/(m + (5/3)*m))*x/(m - (5/3)*m) ≡
≡ y = - 4*(x + 1/4)*x
* Γ(m, 3*m) ≡ y = (m + 3*m)*(x + (2*(2*m - 3*m))/(m + 3*m))*x/(m - 3*m) ≡
≡ y = - 2*(x - 1/2)*x