[Risolto] Problema di matematica

La lunghezza $L_1$ del cavo sott'acqua è 

$L_1=50/cosx$, mentre la lunghezza $L_2$ del cavo sulla riva è

$L_2=1000-50tanx$ dove ho scritto $1 km$ come $1000 m$

La funzione costo totale $f(x)$ risulta:

$f(x)=10000/cosx+100000-5000tanx$

la derivata prima di questa funzione risulta:

$f'(x)=\frac{5000}{cos^2x}(2sinx-1)$

la quale si annulla solo se 

$2sinx-1=0$ cioè $sinx=1/2$ e quindi per $x=\pi/6$ cioè per $x=30$ gradi

e questo è l'angolo che assicura il costo totale minimo.

L'angolo x ha senso per
* 0 <= x <= arctg((1000 m)/(50 m)) ~= 1.52 ~= 87° 8' 15.34''
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La lunghezza L1 del cavo sott'acqua è l'ipotenusa di un triangolo rettahgolo
che, proiettata attraverso l'angolo x, dà l'ampiezza del fiume
e, proiettata attraverso l'angolo complementare, dà la distanza d da sottrarre al chilometro lungo la riva, cioè
* L1 = L = (50 m)/cos(x) = d/cos(π/2 - x) = d/sin(x) ≡
≡ (L = 50/cos(x) m) & (d = 50*tg(x) m)
* L2 = (1000 m) - d = 50*(20 - tg(x)) m
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Il costo di posa risulta
* y = (200 €/m)*L1 + (100 €/m)*L2 ≡
≡ y = (200 €/m)*(50/cos(x) m) + (100 €/m)*(50*(20 - tg(x)) m) ≡
≡ y = 5000*(20 + 2/cos(x) - tg(x)) €
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Dopo un po' di conti si vede che
≡ y = 5000*(20 + 2/cos(π/6) - tg(π/6)) =
= 5000*(20 + 2/(√3/2) - 1/√3) =
= 5000*(20 + √3) ~= 108660.2540378 ~= 108660.25 €
è il valore del costo minimo a cui corrisponde la configurazione
* (L1, L2) = (50/(√3/2), 50*(20 - 1/√3)) ~= (57.735, 971.132) m

angolo ottimale 30° e costo minimo pari a 108.660