[Risolto] Risoluzione di limiti senza l'uso di De L'Hopital o sviluppi di Taylor

 

Ciao!

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3^x - 2^x}{5^x -4^x} $$

Raccogliamo $2^x$ al numeratore e $4^x$ al denominatore:

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x(\frac32^x - 1)}{4^x(\frac54^x -1)} =$

dividiamo e moltiplichiamo per $x$, così da poter usare il limite notevole

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x}   = ln(a) $

e otteniamo:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \cdot ln(\frac32)}{4^x\cdot ln(\frac54)} =  \frac{2^0\cdot ln(\frac32)}{4^0\cdot ln(54)}=\frac{ln(\frac32)}{ ln(\frac54)} $

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{log(\frac{1+x}{x}}{arctan(x) \cdot arcsen(\frac{1}{x})} $$

Spezziamo la frazione dentro il logaritmo per avere

$ \frac{1}{x} +1 $

In questo modo abbiamo $log( 1+f(x))$ con $f(x) \rightarrow 0$, quindi possiamo usare il limite notevole:

$ \lim_{f(x) \rightarrow 0} \frac{log( 1+f(x))}{f(x)}   = 1 $

$ \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{log(\frac{1}{x} +1) \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}{arctan(x) \cdot arcsen(\frac{1}{x})} = $

$ = \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{ \frac{1}{x}}{arctan(x) \cdot arcsen(\frac{1}{x})} $

Possiamo anche usare: 

$ \lim_{f(x) \rightarrow 0} \frac{arcsen(f(x))}{f(x)}   = 1 $

tra l'arcoseno e il $\frac{1}{x}$ al  numeratore, ottenendo:

$ = \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{1}{arctan(x) }  = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi} $

 

Devo ammettere che il primo mi dà delle difficoltà dato che per $x \rightarrow 0$ il logaritmo esterno non è definito... 

Sono d'accordo con @Pazzouomo. Nel primo limite il numerato non è definito, in quanto l'argomento del logaritmo, cioè $x+logx$ tende a -infinito per x-->0 e quindi il suo logaritmo perde di significato.

Sei sicuro di avere scritto bene il testo?

Postato da: @pazzouomo

Quando raccogli, in realtà, intendevo:

2^x/3^x=(2/3)^x

Poi le due x che ti rimango per il limite notevole si elidono

Gentile @pazzouomo,potresti controllare se ho scritto correttamente il primo passaggio?Mi sono un attimo persa.Ti ho esplicitato tutto il passaggio per essere certa di aver compreso bene.Forse tu hai confuso 2/3 con 3/2.In pratica volevi dirmi che(3^x/2^x ) si può scrivere direttamente come (3/2)^x,giusto?