[Risolto] Per favore tutti i passaggi? non riesco

Ciao!

Dato che il punto $P$ deve essere equidistante dalle due masse (supponiamo che i punti in cui si trovano le altre due masse $M$ si chiamino $A$ e $B$), il triangolo $ABP$ è isoscele con altezza $ h = 0.05 \ m $, base $AB = 0.15 \ m$ e il punto medio si trova a $0.075 \ m $ dal punto $A$.

Per il primo punto:

usiamo la conservazione dell'energia.

$E_{Iniziale} = E_{Finale} $

$E_{Iniziale} = E_{Potenziale}$ delle due masse, perché supponiamo che parta da ferma 

$E_{Finale} = E_{Potenziale} $ delle due masse $+E_{Cinetica}$

$E_{Potenziale} = -G \frac{Mm}{r_{AP}} $ nel caso della massa posta in $A$

$E_{Potenziale} = -G \frac{Mm}{r_{BP}} $ nel caso della massa in $B$.

Ma abbiamo un triangolo isoscele, quindi:

$r_{AP} = r_{BP}=0.05^2+0.075^2 =5.6 \cdot 10^{-3}$ dal teorema di Pitagora.

E quindi i contributi della massa $A$ e $B$ sono uguali. In totale, quindi, l'energia potenziale sarà sempre moltiplicata per $2$.

invece $E_{cinetica} = \frac12 m v^2 $ e nel punto $q$ 

$E_{Potenziale} = -G \frac{Mm}{r_{AQ}}$

Ovviamente $r_{AQ} = 0.075 \ m $

Quindi:

$ -2G \frac{Mm}{r_{AP}}  = -2G \frac{Mm}{r_{AQ}}+ \frac12 m v^2$

semplifichiamo le $m$:

$ -2G \frac{M}{r_{AP}}  = -2G \frac{M}{r_{AQ}}+ \frac12  v^2$

$ \frac12  v^2 = +2G \frac{M}{r_{AQ}}- 2G \frac{M}{r_{AP}} $

$ \frac12  v^2 = 2G M (\frac{1}{r_{AQ}}- \frac{1}{r_{AP}}) $

$ v^2 = 4G M (\frac{1}{r_{AQ}}- \frac{1}{r_{AP}}) $

$v = \sqrt{ 4G M (\frac{1}{r_{AQ}}- \frac{1}{r_{AP}} )}$

e sostituiamo i valori, ricordando che $G = 6.67 \cdot 10^{-11} $

Per il secondo punto: 

Sulla massa posta in $P$ agiscono le seguenti forze:

$F_M =$ forza di attrazione data dalla massa $M$
$F_m = $ forza peso del corpo.

in totale abbiamo che: 
$ F_{MA}+F_{MB}+ F_m = m  a $

Scomponiamo sui due assi:

$\begin{cases} -F_{MAx}+F_{MBx} = m a_{x} \\ -F_{MAy} - F_{MBy} -F_{my} = m a  \end{cases} $

ma l'accellerazione rispetto l'asse $x$ è nulla, quindi: 

$\begin{cases}+F_{MBx} = F_{MAx} \\ -G\frac{m M}{r^2_{AP}} - G\frac{m M}{r^2_{BP}} -mg = m a  \end{cases} $

Notiamo che nella seconda espressione le $m$ si semplificano, quindi

$-G\frac{7}{r^2_{AP}} - G\frac{7}{r^2_{BP}} -g =  a $

Che è la formula che usiamo per trovare l'accelerazione.

Sappiamo che $G = 6.67 \cdot 10^{-11} $

Se consideriamo la massa $m$ nel punto $P$, allora dal teorema di Pitagora:

$ r^2_{AP} = 0.05^2+0.075^2 =5.6 \cdot 10^{-3}$

e anche $r^2_{BP} = 5.6 \cdot 10^{-3} $ 

se invece consideriamo la massa $m$ nel punto $Q$, allora la distanza tra $m$ e $M$ è ovviamente $0.075 \ m $.

A questo punto basta sostituire i valori che abbiamo trovato nella formula per trovare l'accelerazione.

Io farei semplicemente così.

a)  Il calcolo della velocità si può fare imponendo che la variazione di energia cinetica della massa corrisponda alla perdita di energia potenziale.

 

Quindi

$\frac{1}{2}mv_f^2=mg h$

 

con $h=0.05 m$

 

quindi si trova $v_f=\sqrt{2gh}=0.99 m/s$

 

b) L'accelerazione è sempre $g=9.81 m/s^2$

 

Nota, i valori delle masse e delle distanza tra le masse grandi non occorrono.

Il problema in realtà è un poco ambiguo perché non si capisce se stiamo parlando di 3 masse qui sulla Terra, per cui si può assumere il campo gravitazionale della Terra costante con accelerazione $g$ e assolutamente trascurabile l'effetto del campo gravitazionale delle singole masse come ho fatto io risolvendo; in alternativa si può pensare a 3 masse isolate da tutto e non considerare il campo gravitazionale terrestre. A questo punto occorre introdurre la legge di gravitazione universale per fare il calcolo (anche se supporre le due masse più grandi ferme è una forzatura del problema).

La soluzione di Pazzouomo è un misto, suppone le masse isolate da tutto nel punto a) e poi nel punto b) considera anche la Terra (ma quel punto l'effetto delle masse sull'accelerazione è assolutamente trascurabile).