[Risolto] Integrali

Ciao!

$$ \int_{+\infty}^1 \frac{3}{x^2} dx $$

Cambiamo i segni per avere gli estremi d'integrazione nell'ordine corretto e portiamo fuori la costante $3$:

$ -3\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx $

Ma $\frac{1}{x^2}$ ha primitiva $-\frac{1}{x}$, da cui:

$-3\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \frac{3}{x}|_{1}^{+\infty} = 0 -3 = -3 $

$$ \int_{-\infty}^0 e^x dx $$

Sappiamo già calcolare la sua primitiva al volo:

$ e^x|_{-\infty}^0 = e^{-\infty}-e^0 = 0-1 = -1 $

$$ \int \frac{e^{\sqrt{x}}+4^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} dx $$

Sostituiamo $ t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2 \Rightarrow dx = 2t dt $ ottenendo

$ \int \frac{e^{t}+4^{t}}{2 t} 2t dt = \int e^{t}+4^{t} dx = e^t + \frac{4^t}{ln(4)} + C$

e, risostituendo:

$ e^ \sqrt{x} + \frac{4^ \sqrt{x}}{ln(4)} + C$