Dati una circoferenza di centro O e un punto esterno A , conduci le tangenti AO e AQ. Dimostra che il quadrilatero APOQè indescrivibile e circoscrivibile a una circonferenza.
Nel triangolo isoscele ABC il perimetro misura 50cm e il lato obliquo supera di 1 cm la base AB. Determina la lunghezza di GH, dove G è il baricentro del triangolo e H il piedi dell'altezza relativa ad AB.
Mi servirebbe la dimostrazione del 3 e 4
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Ciao,
Innanzitutto vediamo quando un quadrilatero è inscrivibile e circoscrittbile in una circonferenza:
CIRCOSCRITTIBILE:
Se e solo se la somma dei lati opposti e congruente alla somma degli altri due.
INSCRIVIBILE:
Se e solo se due angoli opposti sono complementari.
1)
Partiamo dalla circoscrittibilità e consideriamo le rette tangenti alla circonferenza uscenti ad $A$, chiamiamo i punti di tangenza $P$ e$Q$.
Ora è evidente che $\overline{AP} = \overline{AQ}$
e che $\overline{OP} = \overline{OQ}$ essendo entrambi uguali hai raggi.
Sommando membro a memento otteniamo:
$\overline{AP} +\overline{OQ} =\overline{AQ} = \overline{OP}$
quindi il quadrilatero è circoscrivibile in una circonferenza. c.v.d.
2)
L'inscrivibilita è facile, basta notare che il segmento
$\overline{AP} $ è perpendicolare a $\overline{OP}$ per cui: $\widehat{APO}=90°$
Ma anche
$\overline{AQ} $ è perpendicolare a $\overline{OQ}$ per cui: $\widehat{AQO}=90°$
Essendo:
$\widehat{APO}+\widehat{AQO}=180°$
Gli angoli sono supplementari e il quadrilatero è quindi iscrivibile.
c.v.d
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Esercizio 2)
Partiamo innanzitutto andando a calcolare il valore dei lati:
Il problema ci fornisce le seguenti informazioni:
$p=50cm$
$AC=AB+1cm$
Chiamo AB la base e AC e BC i lati obliqui, ovviamente essendo il triangolo isoscele AC=BC
Impostiamo un'equazione:
Partiamo da $p=AB+AC+BC$ che diventa
$p=AB+2BC$
$p=AB+2(AB+1cm)$
Per cui:
$AB=\frac{p-2cm}{3}=\frac{48cm}{3}$
$AB=16cm$
$AC=AB+1cm$
$AC=16cm+1cm=17cm$
Ora calcoliamo l'altezza $CH$ relativa alla base del triangolo che nel caso di un triangolo isoscele coincide con la mediana.
Per farlo dividiamo il triangolo isoscele in 2 triangoli rettangoli:
$CH=\sqrt{AC^{2}-(\frac{AB}{2})^{2}}$
$CH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}$
$CH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{225}=15cm$
Ora ricordando la proprietà delle mediane che afferma che:
$\frac{2}{3}$ della mediana stanno tra la base e il baricentro $G$ e $\frac{1}{3}$ tra il baricentro G e il vertice o il lato che tocca la mediana.
Per cui:
$GH=\frac{2}{3}CH$
$GH=\frac{2}{3}15cm$
$GH=10cm$
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