data la parabola y= -x^2+8x-7, inscrivi nella parte di piano limitata dalla parabola e dall'asse x un trapezio isoscele con la base maggiore sull'asse x e di area massima.
data la parabola y= -x^2+8x-7, inscrivi nella parte di piano limitata dalla parabola e dall'asse x un trapezio isoscele con la base maggiore sull'asse x e di area massima.
1
punto
Livello 0
La parabola
* y = - x^2 + 8*x - 7 = y = - (x - 1)*(x - 7) = 9 - (x - 4)^2
ha
* vertice V(4, 9)
* zeri in (x = 1) oppure (x = 7)
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Il sistema
* (y = h) & (y = 9 - (x - 4)^2)
ha soluzioni
* (4 ± √(9 - h), h)
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L'area "A" del trapezio (isoscele o no) è il prodotto fra l'altezza "h" e la media delle basi "(a + b)/2".
In quanto corde di parabola perpendicolari all'asse di simmetria le due basi hanno lunghezze "c(h)" funzioni dell'altezza "h" a cui si pone la secante "y = h"
* a = c(0) = (4 + √(9 - 0)) - (4 - √(9 - 0)) = 6
* b = c(h) = (4 + √(9 - h)) - (4 - √(9 - h)) = 2*√(9 - h)
da cui
* A = f(h) = h*(a + b)/2 = h*(3 + √(9 - h))
* f'(h) = √(9 - h) - h/(2*√(9 - h)) + 3
* f''(h) = (3/4)*(h - 12)/√((9 - h)^3)
Il massimo di A, che deve esistere per la natura del problema, è determinato dalla soluzione del sistema
* (f'(h) = 0) & (f''(h) < 0) & (0 < h < 9) ≡
≡ (√(9 - h) - h/(2*√(9 - h)) + 3 = 0) & ((3/4)*(h - 12)/√((9 - h)^3) < 0) & (0 < h < 9) ≡
≡ h = 8
da cui
* A = f(8) = 8*(3 + √(9 - 8)) = 32
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Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%284-x%29*y*%288-y%29%3D0%2Cy%3D9-%28x-4%29%5E2%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%281%2C0%29%287%2C0%29%285%2C8%29%283%2C8%29
51562
punti
Genius I