[Risolto] Equazioni letterali

Lo scopo dell'esercizio è risolvere le seguenti equazioni tenendo conto che $ x $ è una variabile, mentre le altre lettere sono in realtà delle costanti, quindi dei numeri! Discutere la soluzione significa, generalmente, verificare in che condizioni essa esista, cioè fare le Condizioni di Esistenza dell'espressione che troviamo come soluzione. Se le condizioni di esistenza sono soddisfatte, la soluzione esiste e spesso è possibile anche semplificare dei termini.

1) $ a^2(a-1)x = a^2 +2+2ax $
Svolgiamo le moltiplicazioni: $ a^3x-a^2x = a^2+2+2ax $
Portiamo tutti i termini a sinistra. $ a^3x-a^2x-a^2-2-2ax = 0 $
dato che dobbiamo risolvere in $ x $, raccogliamo i termini con la $ x $ dello stesso grado: $ x(a^3-a^2-a) -a^2-2 = 0 $
$ x(a^3-a^2-a) = a^2+2$
$ x = \frac{a^2+2}{a^3-a^2-a} $
Avendo diviso per $ a^3-a^2-a $, dobbiamo assicurarci che sia diverso da zero: $ a^3-a^2-a \neq 0 \rightarrow a(a^2-a-1) \neq 0 \rightarrow \begin{cases}
a \neq 0 \\ a^2-a-1 \neq 0 \rightarrow \forall a
\end{cases}$
L'unica condizione da porre sul parametro $ a $ è quindi che sia diverso da $ 0 $.
Lo stesso procedimento lo usiamo per le altre equazioni.

2) $ b^2x +b^2 = b^4 +bx \rightarrow b^2x +b^2 -b^4 -bx = 0 \rightarrow x(b^2 -b) = b^4 -b^2 \rightarrow x = \frac{b^4 -b^2}{b^2 -b} $
La condizione di esistenza per questa soluzione è $ b^2 -b \neq 0 \rightarrow b(b-1) \neq 0$
$ \begin{cases}
b\neq 0 \\ b\neq 1
\end{cases} $

Possiamo anche semplificare: $ x = \frac{b^4 -b^2}{b^2 -b} = \frac{b^2 (b^2-1)}{b(b-1)} = \frac{b^2(b-1)(b+1)}{b(b-1)} = b (b+1)$

3)$ a(5-4x) = 4+ a^2(1-x) \rightarrow 5a-4ax -4-a^2+a^2x \rightarrow x(-4+a^2) = a^2-5a+4 \rightarrow x = \frac{a^2-5a+4}{a^2-4}$
La condizione di esistenza per la soluzione è $ a^2-4 \neq 0 \rightarrow (a-2)(a+2)\neq 0 $
$ \begin{cases}
a \neq 2 \\ a \neq -2
\end{cases} $

4) $ - a-x= 1-a^2x \rightarrow -a-x-1+a^2 x \rightarrow x(a^2-1) = a+1 \rightarrow x = \frac{a+1}{a^2-1} $
La condizione di esistenza per la soluzione è: $ a^2 - 1 \neq 0 \rightarrow (a-1)(a+1)\neq 0 \rightarrow $
$ \begin{cases}
a \neq 1 \\ a \neq -1
\end{cases} $
Se questa condizione è soddisfatta, possiamo anche semplificare un fattore: infatti $ x = \frac{a+1}{a^2-1} = x = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{(a-1)}$

5)$ k^2x-2kx-k=0 \rightarrow x (k^2-2k) -k = 0 \rightarrow x(k^2-2k) = k \rightarrow x = \frac{k}{k^2-2k} $
La condizione di esistenza per questa soluzione è $ k^2-2k \neq 0 \rightarrow k(k-2)\neq 0 \rightarrow $
$ \begin{cases}
k \neq 0 \\ k \neq 2
\end{cases} $
Se questa condizione è soddisfatta possiamo anche semplificare la soluzione: $ x = \frac{k}{k^2-2k} = \frac{k}{k(k-2)} = \frac{1}{k-2} $