Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Quesito di matematica geometria analitica zanichelli

  

0

Dato il fascio di circonferenza (2+k)x^2+(2+k)y^2-2(2+k)x+4(2+k)y+4+k=0, quale tra le seguenti affermazioni è FALSA?

 

A) Per k=-4 si ha la circonferenza passante per l'origine degli assi

 

B) Per k=-1 si ha la circonferenza di raggio radice(2)

 

C) Il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è y=-2x

 

D) Per nessun valore di k si ha una circonferenza tangente all'asse x

 

E) Per k=0 la circonferenza ha centro in C(1;-2)

Autore
Etichette discussione
4 Risposte



2

Ciao,

Andiamo a sostituire i valori di k proposti all'interno del fascio di circonferenze e vediamo che succede:

Dato il fascio:

$(2+k)x^{2}+(2+k)y^{2}-2(2+k)x+4(2+k)y+4+k=0$

a)

Per $k=-4$ otteniamo:

$(-2)x^{2}+(-2)y^{2}+4x-8y=0$

$x^{2}+y^{2}-2x+4y=0$

Ricordano l'equazione generica della circonferenza $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ e che per c=0 la circofernza passa per l'origine, notiamo che è proprio il nostro caso. Quindi per $k=-4$ otteniamo una circonferenza passante per l'origine.
Quindi la $a$ è vera.

b)

$Per k=-1$ otteniamo:

$x^{2}+y^{2}-2x+4y+3=0$

Calcoliamo il raggio:

$r=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c}$

$r=\sqrt{\frac{(-2)^{2}}{4}+\frac{4^{2}}{4}-3}$

$r=\sqrt{1+4-3}=\sqrt{2}$

Anche la $b$ è vera.

c)

$(2+k)x^{2}+(2+k)y^{2}-2(2+k)x+4(2+k)y+4+k=0$

Risolviamolo in questo modo dividendo tutto per $(2+k)$:

$x^{2}+y^{2}-2x+4y+\frac{4+k}{2+k}=0$

ora ricordando che le coordinate del centro sono:

$x_{c}=-\frac{a}{2}= \frac{2}{2}=1$
e
$y_{c}=-\frac{b}{2}= -\frac{4}{2}=-2$

Quest'informazione ci permette di affermare che si tratta di un fascio di circonferenze concentriche di centro $C(1,-2)$
La $c)$ è la risposta FALSA!

Verifichiamo comunque le altre:

d)
Verifichiamo se esiste $k$ tale per cui esiste una circonferenza tangente all'asse x.

Per verificarlo sostituisco nella circonferenza $y=0$ ottenendo:

$x^{2} -2x+\frac{4+k}{2+k}=0$

Imponiamo la condizione di tangenza:

$\Delta=0$

$1- \frac{4+k}{2+k}=0$

$1-4+k=2+k$

$-3=2$ impossibile.

Anche la $d)$ è vera.

e)

Per k=0 otteniamo:

$x^{2}+y^{2}-2x+4y+2=0$

Che ha centro di coordinate:

$x_{c}=-\frac{a}{2}= \frac{2}{2}=1$
e
$x_{c}=-\frac{b}{2}= -\frac{4}{2}=-2$

Anche la $e)$ è vera



3

Edit: avevo sbagliato il procedimento di calcolo del centro. Ora ho corretto

Data la circonferenza $ (2+k)x^2+(2+k)y^2-2(2+k)x+4(2+k)y+4+k=0$  per valutare le varie opzioni cominciamo sostituendo, poi faremo varie considerazioni.

1) mettiamo $ k = -4$: $ -2x^2-2y^2+4x-8y = 0$ si ha la circonferenza passante per l'origine degli assi? Vediamo se $(0,0)$ appartiene alla circonferenza sostituendo i valori del punto (quindi $x=0$ e $y =0$ ) nell'equazione e vediamo se risulta verificata:

$-2\times 0 -2\times 0 +4 \times 0 -8 \times 0 = 0 \rightarrow 0 = 0$ l'equazione è verificata, quindi l'origine degli assi appartiene alla circonferenza e quindi l'affermazione è vera.

2) Sostituiamo $k=-1$: $x^2+x^2-2x+4y+3 = 0 $ calcoliamo il raggio con la formula : $ r = \sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c} = \sqrt{\frac{(-2)^2}{4}+\frac{(4)^2}{4}-3} = \sqrt{\frac{4}{4}+\frac{16}{4}-3} = \sqrt{1+4-3} = \sqrt{2} $ Quindi l'affermazione è vera.  

3)  Calcoliamo il luogo dei centri delle circonferenze:

$ C= (\frac{-a}{2}; \frac{-b}{2})$

Dobbiamo però far sì che i coefficienti dei termini di grado $2$ siano $1$: dividiamo quindi per $(2+k)$, ottenendo:

$ x^2+y^2-2x+4y+\frac{4+k}{2+k}=0$

quindi nel nostro caso:

$ C= (-\frac{-2}{2}; -\frac{4}{2}) = (1; -2)$

Il fascio è quindi formato da circonferenze concentriche, dunque la risposta è falsa.

Verifichiamo comunque che le altre siano corrette.

4)  Cerchiamo una circonferenza tangente all'asse $x$, che ricordiamo ha equazione $y= 0$. Imponiamo il sistema per trovare i punti di intersezione tra le due curve: $\begin{cases} y = 0 \\ (2+k)x^2+(2+k)y^2-2(2+k)x+4(2+k)y+4+k=0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} y = 0 \\ (2+k)x^2-2(2+k)x++4+k=0 \end{cases}$

L'ultima è un'equazone di secondo grado in $x$, le cui soluzioni ci dicono i valori delle ascisse dei punti di intersezione tra due curve. A noi, ovviamente, non interessano i valori ma soltanto il numero di essi! Infatti, volendo la tangenza, deve esserci un solo punti di intersezione tra le due curve, e quindi una sola soluzione di quest'equazione di secondo grado.

Affinchè succeda, dobbiamo imporre $\Delta = 0$, perché questa condizione corrisponde a "l'equazione di secondo grado ha una sola soluzione".

$\Delta = (-2(2+k))^2-4(2+k)(4+k) = 4(2+k)^2-4(8+k^2+4k +2k) = 16+16k +4k^2 - 32 - k^2 -6k = 3k^2 +10k -16 $ vogliamo che sia nullo: $3k^2 +10k -16 = 0$

quindi un'altra equazione di secondo grado. Risolviamola: $k_{1,2}= \frac{-10 \pm \sqrt{100-192}}{6}$ quindi, poiché  $ \Delta = -92 < 0 $ questa equazione non ha soluzione. Non esiste nessun valore di $k$ per cui esiste una circonferenza tangente all'asse $x$. L'affermazione è vera.

5) Poniamo $k=0$: $ 2x^2+y^2-4x+8y+4=0$  calcoliamo il centro con la formula di prima, dividendo prima tutti i termini per $2$. L'equazione diventa $x^2 + y^2 -2x+4y+4

: $C = (-\frac{-2}{2}; -\frac{4}{2}) = (1, -2)$ Quindi l'affermazione è vera. Infatti si tratta di un fascio di circonferenze concentriche, come avevamo già dimostrato in un punto precedente.

@pazzouomo Attento che non è corretto:)

 

Hai ragione! Sono caduto in un tranello! Grazie della dritta



2

Per valutare le affermazioni {A, B, E} si deve particolarizzare per i valori di
* k in {- 4, - 1, 0}
la generica circonferenza [che è tale solo se (k + 2) != 0]
* Γ(k) ≡ (k + 2)*x^2 + (k + 2)*y^2 - 2*(k + 2)*x + 4*(k + 2)*y + k + 4 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*x + y^2 + 4*y + (k + 4)/(k + 2) = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (k + 4)/(k + 2) = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (√(4 - 2/(k + 2)))^2
---------------
Come si vede dalla forma normale standard Γ(k) rappresenta un fascio concentrico con
* centro C(1, - 2)
* raggio r(k) = √(4 - 2/(k + 2))
reale per (k < - 2) oppure per (k >= - 3/2)
------------------------------
A) Per k=-4 si ha la circonferenza passante per l'origine degli assi: VERO, il termine noto si annulla.
* Γ(k) ≡ x^2 - 2*x + y^2 + 4*y + (- 4 + 4)/(- 4 + 2) = 0
------------------------------
B) Per k=-1 si ha la circonferenza di raggio radice(2): VERO, basta sostituire.
* Γ(k) ≡ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (√(4 - 2/(- 1 + 2)))^2 = (√2)^2
------------------------------
E) Per k=0 la circonferenza ha centro in C(1;-2): BANALMENTE VERO, come tutte!
==============================
C) Il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è y=-2x: BANALMENTE FALSO, il fascio è concentrico.
==============================
D) Per nessun valore di k si ha una circonferenza tangente all'asse x: CI SI DEVE RAGIONARE UN PO', NON SI PUO' DIRE PER ISPEZIONE.
Una circonferenza centrata in C(1, - 2) è tangente all'asse x se e solo se ha raggio r = 2, cioè
* r(k) = √(4 - 2/(k + 2)) = 2 ≡ 2/(k + 2) = 0 ≡ impossibile
---------------
L'affermazione D è VERA.



0

Grazie mille a entrambi 😀 

Autore



Risposta




SOS Matematica

4.6
SCARICA