Edit: avevo sbagliato il procedimento di calcolo del centro. Ora ho corretto
Data la circonferenza $ (2+k)x^2+(2+k)y^2-2(2+k)x+4(2+k)y+4+k=0$ per valutare le varie opzioni cominciamo sostituendo, poi faremo varie considerazioni.
1) mettiamo $ k = -4$: $ -2x^2-2y^2+4x-8y = 0$ si ha la circonferenza passante per l'origine degli assi? Vediamo se $(0,0)$ appartiene alla circonferenza sostituendo i valori del punto (quindi $x=0$ e $y =0$ ) nell'equazione e vediamo se risulta verificata:
$-2\times 0 -2\times 0 +4 \times 0 -8 \times 0 = 0 \rightarrow 0 = 0$ l'equazione è verificata, quindi l'origine degli assi appartiene alla circonferenza e quindi l'affermazione è vera.
2) Sostituiamo $k=-1$: $x^2+x^2-2x+4y+3 = 0 $ calcoliamo il raggio con la formula : $ r = \sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c} = \sqrt{\frac{(-2)^2}{4}+\frac{(4)^2}{4}-3} = \sqrt{\frac{4}{4}+\frac{16}{4}-3} = \sqrt{1+4-3} = \sqrt{2} $ Quindi l'affermazione è vera.
3) Calcoliamo il luogo dei centri delle circonferenze:
$ C= (\frac{-a}{2}; \frac{-b}{2})$
Dobbiamo però far sì che i coefficienti dei termini di grado $2$ siano $1$: dividiamo quindi per $(2+k)$, ottenendo:
$ x^2+y^2-2x+4y+\frac{4+k}{2+k}=0$
quindi nel nostro caso:
$ C= (-\frac{-2}{2}; -\frac{4}{2}) = (1; -2)$
Il fascio è quindi formato da circonferenze concentriche, dunque la risposta è falsa.
Verifichiamo comunque che le altre siano corrette.
4) Cerchiamo una circonferenza tangente all'asse $x$, che ricordiamo ha equazione $y= 0$. Imponiamo il sistema per trovare i punti di intersezione tra le due curve: $\begin{cases} y = 0 \\ (2+k)x^2+(2+k)y^2-2(2+k)x+4(2+k)y+4+k=0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} y = 0 \\ (2+k)x^2-2(2+k)x++4+k=0 \end{cases}$
L'ultima è un'equazone di secondo grado in $x$, le cui soluzioni ci dicono i valori delle ascisse dei punti di intersezione tra due curve. A noi, ovviamente, non interessano i valori ma soltanto il numero di essi! Infatti, volendo la tangenza, deve esserci un solo punti di intersezione tra le due curve, e quindi una sola soluzione di quest'equazione di secondo grado.
Affinchè succeda, dobbiamo imporre $\Delta = 0$, perché questa condizione corrisponde a "l'equazione di secondo grado ha una sola soluzione".
$\Delta = (-2(2+k))^2-4(2+k)(4+k) = 4(2+k)^2-4(8+k^2+4k +2k) = 16+16k +4k^2 - 32 - k^2 -6k = 3k^2 +10k -16 $ vogliamo che sia nullo: $3k^2 +10k -16 = 0$
quindi un'altra equazione di secondo grado. Risolviamola: $k_{1,2}= \frac{-10 \pm \sqrt{100-192}}{6}$ quindi, poiché $ \Delta = -92 < 0 $ questa equazione non ha soluzione. Non esiste nessun valore di $k$ per cui esiste una circonferenza tangente all'asse $x$. L'affermazione è vera.
5) Poniamo $k=0$: $ 2x^2+y^2-4x+8y+4=0$ calcoliamo il centro con la formula di prima, dividendo prima tutti i termini per $2$. L'equazione diventa $x^2 + y^2 -2x+4y+4
: $C = (-\frac{-2}{2}; -\frac{4}{2}) = (1, -2)$ Quindi l'affermazione è vera. Infatti si tratta di un fascio di circonferenze concentriche, come avevamo già dimostrato in un punto precedente.