[Risolto] Esercizi su disequazioni

* (x - 1)*(x + 2) + (1 - x)*(2*x + 3) <= 2 - x^2 ≡
≡ (x - 1)*(x + 2) - (x - 1)*(2*x + 3) <= 2 - x^2 ≡
≡ (x - 1)*((x + 2) - (2*x + 3)) <= 2 - x^2 ≡
≡ (x - 1)*(- (x + 1)) <= 2 - x^2 ≡
≡ - (x^2 - 1) <= 2 - x^2 ≡
≡ 1 - x^2 <= 2 - x^2 ≡
≡ 1 <= 2 ≡
≡ vero ovunque: è indipendente da x.
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* 2*x*(x^2 + 4)*(x - 1)^2 <= 0 ≡
≡ x*(x^2 + 4)*(x - 1)^2 <= 0 ≡ [2 > 0, non influisce sul segno]
≡ x*(x - 1)^2 <= 0 ≡ [(x^2 + 4) > 0, non influisce sul segno]
≡ (x*(x - 1)^2 < 0) oppure (x*(x - 1)^2 = 0) ≡
≡ (x < 0) oppure (x = 0) oppure (x = 1) ≡
≡ (x <= 0) oppure (x = 1)

Ciao,

1.

$(x-1)(x+2)+(1-x)(2x+3)\leq 2-x^2$

Risolviamo moltiplicando ciascuna parentesi, e otteniamo:

$\left (x^{2}+2x-x-2  \right )+\left ( 2x+3-2x²-3x \right )\leq 2-x^{2}$

$x^{2}+x-2-x-2x²+3\leq 2-x^{2}$

$-x^{2}+1\leq 2-x^{2}$

portiamo tutto al primo membro:

$-x^{2}+1-2+x^{2}\leq 0$

$-1\leq 0$

$\forall x\in \mathbb{R}$

 

 

2.

$2x(x-1)^2(x^2+4)\leq 0$

Studiamo il segno di ciascun fattore,cercando i valori di x per i quali ciascun fattore è positivo

• $2x>0\rightarrow x>0$
• $(x-1)^2> 0\rightarrow x< 1 \vee x>1$
• $(x^2+4)> 0\rightarrow x^2>-4\rightarrow$  nessun valore di x

 

Compiliamo il quadro applicando la regola dei segni

Poiché si richiede che il prodotto sia negativo o nullo, le soluzioni della disequazione sono le seguenti

$x\leq 0 \vee  x=1$

 

saluti ?