[Risolto] Problema di aritmetica con m.c.m e M.C.D

Per risolvere questo esercizio possiamo procedere in diversi modi. Un metodo alternativo al minimo comune multiplo ma che sostanzialmente risulta essere simile è quello di risolvere una banalissima equazione di primo grado. Vediamo come impostare la nostra equazione e soprattutto perché adottare questo approccio.

Per ipotesi sappiamo che due medici effettuano il turno di risposo rispettivamente ogni $4$ giorni e ogni $5$ giorni. Quindi sostanzialmente quello che vogliamo ottenere è quel giorno( che sarebbe anche la nostra incognita ) in cui i nostri medici avranno il turno di riposo in contemporanea. Quindi possiamo scrivere in questo modo :

$4x$  $=$  $5m$  $\iff$  $4x$  $-$  $5m$  $=$  $0$

Questa che abbiamo appena scritto è una particolare tipo di equazione chiamata $Equazione$ $diofantea$ le cui soluzioni vanno ricercate nell'insieme $Z$. Ma cosa di fondamentale importanza è che queste tipo di equazioni hanno soluzioni se e solo se il $MCD$$\bigl($ $4$, $5$ $\bigr)$ divide $c$ che sarebbe il termine noto e in questo caso è $0$. Sappiamo anche che risolvere una equazione di questo tipo equivale a risolvere un'equazione congruenziale.

$4x$  $\equiv_{5}$ $0$  $\iff$  $5$ $|$ $4x$ $-$ $0$  $\iff$  $\bigl($  $\exists$$m$ $\in$ $Z$ $|$  $4x$  $=$  $5m$  $+$  $0$  $\bigr)$

Ma ciò significa che $4x$ deve essere un multiplo di $5$, cioè dobbiamo ricercare quella $x$ tale per cui $4x$ sia un multiplo di $5$. In questo caso possiamo ricercare tra i multipli sia di $5$ che di $4$ quello in comune ad entrambi e che sia quello più piccolo( minimo comune multiplo ).

$5$$N$  $=$  $\bigl\{$ $0$, $5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$ $...$  $\bigl\}$

$4$$N$  $=$  $\bigl\{$ $0$, $4$, $8$, $12$, $16$, $20$, $24$ $...$  $\bigl\}$

Tra quelli in comune troviamo il numero $20$. Quindi i due medici avranno il turno di riposo rispettivamente tra $20$ giorni. E siccome il $28$ giugno non hanno lavorato entrambi abbiamo che $28$  $+$  $20$  $=$ $48$. Ma come sappiamo il $48°$ giorno non esiste quindi possiamo risolvere di nuovo una congruenza ma questa volta modulo $31$ poiché ci troveremo sicuramente nel mese di luglio. Così otterremo quel numero compreso nell'intervallo $\bigl\{$ $0$, $..$ $30$ $\bigr\}$ che risulterà essere equivalente a $48$. Al risultato va sommato $1$ per ottenere il giorno effettivo. 

$rest$$\bigl($ $48$, $31$ $\bigr)$  $+$  $1$   $=$   $17$  $+$  $1$  $=$  $18$

Quindi tra $20$ giorni a partire dal $28$ giugno i due medici avranno il turno di riposo esattamente il $18$ luglio.

m.c.m. = 2^2*5 = 20 

28/06 + 20 = 18/07 (18 Luglio) 

Ciao,

si tratta di un problema da risolvere calcolando il mcm.

4=2²

5=5

calcoliamo il mcm:

mcm=2²×5=20

I due medici avranno di nuovo il turno di riposo contemporaneamente dopo 20 giorni, cioè esattamente il 18 luglio.

Saluti ?