[Risolto] Piano cartesiano e retta

@tiyagap8

Il coefficiente angolare del fascio:

m= (2a+1)/(4a)

 

è funzione del parametro. Si tratta quindi di un fascio di rette proprio di cui possiamo determinare le generatrici e il centro. 

Riscriviamo il fascio nella forma:

x+2 + a(2x - 4y) = 0

 

Le rette generatrici del fascio sono quindi la retta x+2=0, ottenuta per a=0 e la retta esclusa 2x-4y=0

Dall'intersezione delle due rette si determina il centro C di coordinate:

{x+2 = 0

{2x - 4y = 0

Quindi: C= ( - 2, - 1)

 

Domanda a) 

Coefficiente_angolare positivo:

m= (2a+1)/(4a) > 0 ==> a< - 1/2  v  a>0

 

Domanda b) 

Intersezione con asse x.... 

 

Determino l'ascissa dei punti d'intersezione con l'asse x mettendo a sistema l'equazione del fascio proprio con la retta y=0. Quindi:

 

{y=0

{x+2 + a(2x - 4y) = 0

 

Da cui si ricava il valore: x= - 2/(1 + 2a)

Quindi la condizione richiesta è verificata se: a> - 1/2

 

Domanda C) 

Perpendicolare alla retta passante per i due punti..

 

La retta passante per i due punti ha coefficiente angolare - 1. Ciò significa che la retta del fascio perpendicolare avrà coefficiente angolare anti reciproco m=1

Quindi:

(2a+1)/4a = 1

 

Da cui si ricava: a= 1/2

Abbi pazienza, ma là dove c'è un parametro solo io lo chiamo k. Perciò il tuo fascio è
* "x-4ay+2ax+2=0" ≡
≡ r(k) ≡ (2*k + 1)*x - 4*k*y + 2 = 0
dai cui casi particolari
* r(0) ≡ (2*0 + 1)*x - 4*0*y + 2 = 0 ≡ x = - 2
* r(- 1/2) ≡ (2*(- 1/2) + 1)*x - 4*(- 1/2)*y + 2 = 0 ≡ y = - 1
si vede che il fascio è centrato in C(- 2,- 1); quindi è proprio e si rappresenta per distinzione di casi
≡ r(k) ≡ (k = 0) & (x = - 2) oppure (k != 0) & (y = ((2*k + 1)/(4*k))*x + 1/(2*k))
dove le rette del secondo disgiunto hanno
* pendenza m(k) = (2*k + 1)/(4*k)
* intercetta q(k) = 1/(2*k)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) "con coefficiente angolare positivo"
* pendenza m(k) = (2*k + 1)/(4*k) > 0 ≡
≡ (k < - 1/2) oppure (k > 0)
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b) "che interseca l'asse x in punti di ascissa negativa"
* (y = 0) & (k = 0) & (x = - 2 < 0) oppure (y = 0) & (x < 0) & (k != 0) & (y = ((2*k + 1)/(4*k))*x + 1/(2*k)) ≡
≡ (k = 0) oppure (x = - 2/(2*k + 1) < 0) & (k != - 1/2) ≡
≡ (k = 0) oppure (k > - 1/2) ≡
≡ k > - 1/2
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c) "perpendicolare alla retta che passa per (0;1) e (-2;3)"
La congiungente nominata è
* (0, 1)(- 2, 3) ≡ y = 1 - x
parallela alla bisettrice dei quadranti pari; perciò la retta richiesta deve avere pendenza uno
* m(k) = (2*k + 1)/(4*k) = 1 ≡ k = 1/2