[Risolto] Quesito retta

@gianluca795

Ciao e benvenuto.

I due fasci sono:

(3·h - 1)·x + 2·h·y - 6 = 0

k·x + (k - 1)·y - k = 0

Se si vuole la retta comune ai due fasci, l'equazione implicita che la rappresenta deve essere equivalente: quindi ci deve essere proporzionalità fra i coefficienti delle incognite ed il termine noto.

Cioè:

(3·h - 1)/k = 2·h/(k - 1) = - 6/(-k)

equivalente ad un sistema che fornisce soluzione:

h = 7/3 ∧ k = 9/2

Quindi determiniamo tale retta:

(3·(7/3) - 1)·x + 2·(7/3)·y - 6 = 0------> 6·x + 14·y/3 - 6 = 0

2·(9·x + 7·y - 9) = 0------> 9·x + 7·y - 9 = 0

Continuo dopo....

Verifico che la seconda retta coincida con quella trovata:

9/2·x + (9/2 - 1)·y - 9/2 = 0

9·x/2 + 7·y/2 - 9/2 = 0

9·x + 7·y - 9 = 0  O.K.

Determino i punti P e Q intersezioni della retta trovata con gli assi:

{9·x + 7·y - 9 = 0

{y = 0

quindi: [x = 1 ∧ y = 0] ----> P(1,0)

{9·x + 7·y - 9 = 0

{x = 0

[x = 0 ∧ y = 9/7]--------> Q(0,9/7)

Area= 1/2·1·(9/7) = 9/14  ( = 0.643 circa)

 

Per individuare la retta comune si impone la proporzionalità dei coefficienti 

(3h - 1)/k = 2h/(k - 1) = 6/k 

da cui 3h - 1 = 6 e  h = 7/3 

14/3 k = 6k - 6

4/3 k = 6

k = 6*3/4 = 9/2 

 

sostituendo 

6x + 14/3 y - 6 = 0

18x + 14y - 18 = 0

9x + 7y -9 = 0

e per riscontro 

 

9/2 x + 7/2 y - 9/2 = 0

t)  9x + 7y - 9 = 0

oppure 

x + 7/9 y = 1

x + y/(9/7) = 1

 

da cui l'area S = 1/2 |p*q| = 1/2*1*9/7 = 9/14

I tre vertici del triangolo sono (0,0) 

x = 1, y = 0

x = 0, y = 9/7 

dalla forma segmentaria.

Il triangolo é rettangolo per cui l'ortocentro é l'origine 

(vertice dell'angolo retto) e il circocentro é il punto medio dell'ipotenusa 

 

(1/2; 9/14) 

Il baricentro, mediando le coordinate omologhe, risulta (1/3, 3/7) 

e la retta che li contiene ha equazione esplicita y = 9/7 x. 

* r(h) ≡ (3*h - 1)*x + 2*h*y - 6 = 0 ≡ y = ((1 - 3*h)/(2*h))*x + 3/h
* r(0) ≡ (3*0 - 1)*x + 2*0*y - 6 = 0 ≡ x = - 6
* r(1/3) ≡ (3*(1/3) - 1)*x + 2*(1/3)*y - 6 = 0 ≡ y = 9
r(h) ha centro C1(- 6, 9)
------------------------------
* s(k) ≡ k*x + (k - 1)*y - k = 0 ≡ y = k/(k - 1) - k*x/(k - 1)
* s(0) ≡ 0*x + (0 - 1)*y - 0 = 0 ≡ y = 0
* s(1) ≡ 1*x + (1 - 1)*y - 1 = 0 ≡ x = 1
s(k) ha centro C2(1, 0)
------------------------------
La richiesta retta t comune è la congiungente i centri
* t ≡ C1C2 ≡ y = - (9/7)*(x - 1) ≡ x/1 + y/(9/7) = 1
di pendenza m = - 9/7
corrispondente a r(7/3) ed s(9/16) in quanto
* (1 - 3*h)/(2*h) = k/(k - 1) = - 9/7 ≡ (h = 7/3) & (k = 9/16)
dalla cui forma segmentaria si leggono i vertici del triangolo, rettangolo nell'origine, che forma con gli assi coordinati
* O(0, 0), X(1, 0), Y(0, 9/7)
L'area S = 9/14 è il semiprodotto dei cateti.
L'ortocentro è l'origine, intersezione delle altezze.
Il circumcentro è il punto medio dell'ipotenusa, ((1, 0) + (0, 9/7))/2 = (1/2, 9/14).
Il baricentro è il punto medio dei vertici, ((1, 0) + (0, 9/7) + (0, 0))/3 = (1/3, 3/7).
La congiungente circumcentro e baricentro è
(1/2, 9/14)(1/3, 3/7) ≡ y = (9/7)*x
che verifica l'allineamento.