[Risolto] Parabole

Nel fascio di parabole
* Γ(k) ≡ y = - x^2 + 2*(k - 1)*x - k
ci sono solo due parabole particolari
* Γ(0) ≡ y = - (x + 2)*x
* Γ(1) ≡ y = - (x^2 + 1)
che intersecate danno l'unico (entrambe le aperture sono a = - 1) punto base B semplice
* (y = - (x + 2)*x) & (y = - (x^2 + 1)) ≡
≡ B(1/2, - 5/4)
Fra tutte le possibili coppie di parabole generatrici spicca quella ottenuta separando i termini in k (la "parabola esclusa" è la retta non generabile)
* Γ(k) ≡ y = - x^2 + 2*(k - 1)*x - k ≡ y = k*(2*x - 1) - (x + 2)*x
Non sono generabili rette in quanto i coefficienti di y e di x^2 non sono parametrici.
La forma che evidenzia apertura e vertice si ottiene per completamento di quadrato
* Γ(k) ≡ y = - (x^2 - 2*(k - 1)*x + k) =
= - ((x - (k - 1))^2 - (k - 1)^2 + k) =
= - ((x - (k - 1))^2 - (k^2 - 3*k + 1)) ≡
≡ Γ(k) ≡ y = (k^2 - 3*k + 1) - (x - (k - 1))^2
quindi
* apertura a = - 1 < 0 (concavità versi y < 0)
* vertice V((k - 1), (k^2 - 3*k + 1))
* asse di simmetria x = k - 1
da cui il luogo dei vertici, ottenuto eliminando k dalle coordinate
* (x = k - 1) & (y = k^2 - 3*k + 1) ≡
≡ (k = x + 1) & (y = x^2 - x - 1)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) Γ per (- 1, 1)
* 1 = (k^2 - 3*k + 1) - (- 1 - (k - 1))^2 ≡ k = 0
* Γ(0) ≡ y = - (x + 2)*x
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b) Γ con asse di simmetria x = 5
* asse di simmetria x = k - 1 = 5 ≡ k = 6
≡ Γ(6) ≡ y = 19 - (x - 5)^2
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c) Γ col vertice di ordinata 5
* k^2 - 3*k + 1 = 5 ≡ (k = - 1) oppure (k = 4)
* Γ(- 1) ≡ y = 5 - (x + 2)^2
* Γ(4) ≡ y = 5 - (x - 3)^2