[Risolto] mate

Studio del fascio
Il fascio di parabole
* Γ(k) ≡ y = (k + 3)*x^2 + (k - 1)*x + (2*k - 1)
avendo parametrici tutt'e tre i coefficienti genera tre parabole particolari
* Γ(- 3) ≡ y = - 4*x - 7 (parabola degenere)
* Γ(1/2) ≡ y = 7*x^2/2 - x/2 (per l'origine)
* Γ(1) ≡ y = 4 x^2 + 1 (con asse sull'asse y)
e, per ogni k != - 3, si scrive nella forma
* Γ(k) ≡ y = (k + 3)*(x + (k - 1)/(2*(k + 3)))^2 + (7*k^2 + 22*k - 13)/(4*(k + 3))
in funzione di
* apertura: a = k + 3
* vertice: V((1 - k)/(2*(k + 3)), (7*k^2 + 22*k - 13)/(4*(k + 3))
Il luogo dei vertici si ottiene eliminando il parametro dalle coordinate
* (x = (1 - k)/(2*(k + 3))) & (y = (7*k^2 + 22*k - 13)/(4*(k + 3))) ≡
≡ (k = (1 - 6*x)/(2*x + 1)) & (4*x^2 + 2*x*y + 14*x + y - 1 = 0)
e risulta un'iperbole non degenere.
-----------------------------
Determinazione
"vertice nel punto di ascissa -2" vuol dire
* xV = (1 - k)/(2*(k + 3)) = - 2 ≡ k = - 13/3
da cui
* Γ(- 13/3) ≡ y = - (4/3)*(x + 2)^2 - 13/3
==============================
Dettaglio
1) Porre in evidenza l'apertura
* (k + 3)*x^2 + (k - 1)*x + (2*k - 1) =
= (k + 3)*(x^2 + ((k - 1)/(k + 3))*x + (2*k - 1)/(k + 3))
2) Completare il quadrato dei termini variabili
* x^2 + ((k - 1)/(k + 3))*x = (x + (k - 1)/(2*(k + 3)))^2 - ((k - 1)/(2*(k + 3)))^2
3) Sostituire, unificare il termine noto, reintrodurre l'apertura.
* (k + 3)*x^2 + (k - 1)*x + (2*k - 1) =
= (k + 3)*(x^2 + ((k - 1)/(k + 3))*x + (2*k - 1)/(k + 3)) =
= (k + 3)*((x + (k - 1)/(2*(k + 3)))^2 - ((k - 1)/(2*(k + 3)))^2 + (2*k - 1)/(k + 3)) =
= (k + 3)*((x + (k - 1)/(2*(k + 3)))^2 + (7*k^2 + 22*k - 13)/(4*(k + 3)^2)) =
= (k + 3)*(x + (k - 1)/(2*(k + 3)))^2 + (7*k^2 + 22*k - 13)/(4*(k + 3))