[Risolto] fasci di parabole

Riscriviamo il fascio di parabole nel seguente modo:

y - (k·x^2 - (2·k + 1)·x + k - 1) = 0

- k·(x^2 - 2·x + 1) + x + y + 1 = 0

Quindi determiniamo gli eventuali punti base del fascio dal seguente sistema:

{x^2 - 2·x + 1 = 0

{x + y + 1 = 0

Risolvendolo si ottiene un solo punto base:

[x = 1 ∧ y = -2]-----> [1,2]

Ciò indica un fascio di parabole tutte tangenti nel punto ottenuto. Per valori di k ≠ 0 ad esempio per 

k=-1; k=1; k=2

 si hanno le parabole di figura:

Assegnando particolari valori al parametro k abbiamo le cosiddette parabole degeneri.

Per k=0 ----> x + y + 1 = 0 comune a tutte le parabole del fascio

L'altra la retta verticale con molteplicità 2: (x-1)^2=0---> x=1

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La parabola del fascio avente per tangente la retta y=-3x è indicata nella figura precedente ed è quella passante per l'origine con k=1

{y = k·x^2 - (2·k + 1)·x + k - 1

{y = - 3·x

per sostituzione:

k·x^2 - (2·k + 1)·x + k - 1 + 3·x = 0

k·x^2 + x·(2 - 2·k) + k - 1 = 0

condizione di tangenza: Δ/4 = 0

(1 - k)^2 - k·(k - 1) = 0

1 - k = 0-----> k = 1

y = 1·x^2 - (2·1 + 1)·x + 1 - 1

y = x^2 - 3·x