[Risolto] Parabola

Poiché il fuoco della parabola appartiene all’asse $y$, che ne costituisce quindi l’asse di simmetria, l’equazione della stessa sarà del tipo $y=ax^2+c$, con $c$ ordinata del vertice; ricordando che il vertice è intermedio tra fuoco e direttrice, si ha $c=2$. Inoltre, ricordando che il coefficiente a è pari al reciproco del quadruplo della distanza fuoco-vertice, si ha $a=1/24$, da cui:

$$\gamma :\quad y=\frac{1}{24}{{x}^{2}}+2\quad$$

Il punto $P$ è quindi $P(3,19/8)$, e la retta $t$ tangente a γ in $P$, come si può ricavare utilizzando ad esempio la formula di sdoppiamento, ha equazione $2x−8y+13=0$. Il fascio di parallele a $t$ può essere scritto come $y=t/4+q$, e gli estremi $A$ e $B$ della corda che una generica retta del fascio stacca su γ hanno le seguenti coordinate, ottenute dall’equazione risolvente il sistema parabola-fascio:

$$\frac{1}{4}x+q=\frac{1}{24}{{x}^{2}}+2\to {{x}^{2}}-6x+48-24q=0\to {{x}_{1,2}}=3\pm \sqrt{24q-39}$$

$$A\left( 3-\sqrt{24q-39},\frac{3-\sqrt{24q-39}}{4}+q \right),\quad B\left( 3+\sqrt{24q-39},\frac{3+\sqrt{24q-39}}{4}+q \right)$$

da cui

$$AB=\frac{\sqrt{17}}{2}\sqrt{24q-39}\to AB=\frac{3}{2}\sqrt{17}\leftrightarrow \sqrt{24q-39}=3\to q=2\quad$$

cioè la retta cercata ha equazione $x−4y+8=0$. Poiché per $q=2$ si ha $A(0,2)$ e $B(6,7/2)$, si ricava:

$$AF=6,\quad BH=6\to {{S}_{ABF}}=18\quad$$