[Risolto] Considera l'ellisse che ha un vertice in ...

Come già ti feci notare in una precedente risposta, quando il primo quesito di un tema pone un problema indeterminato basta discutere quel solo quesito in quanto sarebbe insensato esaminare i successivi che da esso dipendono (in questo caso può avere senso discutere, ma solo simbolicamente, anche il quesito b).
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Le ellissi con un vertice in A(5, 0) e un fuoco in F(3, 0) devono avere:
* asse maggiore sull'asse x
* asse minore x = k ∉ {3, 5}
* centro C(k, 0)
* semiasse maggiore a = |k - 5|
* semiasse minore 0 < b < |k - 5|
* semidistanza focale c = |k - 3| = √(a^2 - b^2)
da cui
* (|k - 3| = √((k - 5)^2 - b^2)) & (0 < b < |k - 5|) & (k ∉ {3, 5}) ≡
≡ (0 < b = 2*√(4 - k) < |k - 5|) & (k < 4) & (k ∉ {3, 5}) ≡
≡ (k < 4) & (k != 3)
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Il fascio che risulta da quanto sopra è specificato dal sistema delle condizioni restrittive
* (k < 4) & (k != 3)
e dell'equazione
* Γ(k) ≡ ((x - k)/a)^2 + ((y - 0)/b)^2 = 1 ≡
≡ ((x - k)/(k - 5))^2 + (y/(2*√(4 - k)))^2 = 1 ≡
≡ (4 - k)*(x - k)^2 + ((k - 5)^2/4)*y^2 - (4 - k)*(k - 5)^2 = 0
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http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%281-n%2F4%29*%28x-3-n%2F4%29%5E2--%28%28n%2F4-2%29%5E2%2F4%29*y%5E2-%281-n%2F4%29*%28n%2F4-2%29%5E2%3D0%2C%7Bn%2C1%2C3%7D%5D
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Quesito b)
L'area dell'ellisse è π*a*b = 2*π*|k - 5|*√(4 - k)
Il quadrato inscritto ha per diagonali d i diametri paralleli alle diagonali dei quadranti ed ha area d^2/2
Il rapporto richiesto è
* r(k) = d^2/(4*π*|k - 5|*√(4 - k))
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* (y = x - k) & (((x - k)/(k - 5))^2 + (y/(2*√(4 - k)))^2 = 1) & (k < 4) & (k != 3) ≡
≡ P(k - 2*√((4 - k)*(k - 5)^2)/((k - 7)^2 - 8), - 2*√((4 - k)*(k - 5)^2)/((k - 7)^2 - 8))
oppure
≡ Q(k + 2*√((4 - k)*(k - 5)^2)/((k - 7)^2 - 8), 2*√((4 - k)*(k - 5)^2)/((k - 7)^2 - 8))
da cui
* d^2 = |PQ|^2 = 4*|k - 5|*√(2*(4 - k)/((k - 7)^2 - 8)^2)
* r(k) = √(2/((k - 7)^2 - 8)^2)/π

Esistono infinite ellissi con un vertice in (5;0) e F(3;0) non essendo specificato che il centro è C(0;0) 

Es:

(x-1)²/16 + y²/12 = 1

C(1;0)

c= semidistanza focale= radice (a²-b²)= 2 => F1=(xc+c, 0)=(3, 0)

a= semiasse maggiore = 4 => V1=(xc+a, 0)=(5,0)

x^2/25 + y^2/16 = 1----->y = - 4·√(25 - x^2)/5 ∨ y = 4·√(25 - x^2)/5

y = 4·√(25 - x^2)/5

Determino il quadrato inscritto:

[x, 4·√(25 - x^2)/5]

x = 4·√(25 - x^2)/5

risolvo:

x = 20·√41/41

area quadrato= Α = 4·(20·√41/41)^2-----> Α = 1600/41

Α (ellisse)= 5·4·pi

Rapporto=R =1600/41/(20·pi)-----> R = 80/(41·pi)

Parabola

x = a·y^2 - 3

[0, 4]

0 = a·4^2 - 3----> a = 3/16

x = 3/16·y^2 - 3

N.B. Vale l'osservazione iniziale di @stefanopescetto