[Risolto] Un'ellisse con i fuochi sull'asse ...

x^2/α + y^2/β = 1

avendo posto: α =a^2; β=b^2

con α > β

γ = α - β  avendo posto γ = c^2

ε = γ/α  avendo posto ε = e^2

ε = (√5/5)^2-----> ε = 1/5

L'ellisse passa per P(0,2)

0^2/α + 2^2/β = 1-----> 4/β = 1----> β = 4

Risolvo:

{γ = α - 4

{1/5 = γ/α

ottengo: [α = 5 ∧ γ = 1]

Equazione ellisse

x^2/5 + y^2/4 = 1

4·x^2 + 5·y^2 = 20

Posizione dei vertici ellisse

a^2 = 5-----> a = - √5 ∨ a = √5

A1(- √5,0) e A2(√5,0)

b^2 = 4----> b = -2 ∨ b = 2

B1(0,-2) e B2(0,2)

Base rettangolo circoscritto = 2·√5

Altezza rettangolo circoscritto = 2·2 = 4

Area rettangolo circoscritto=Α = 2·√5·4----> Α = 8·√5

La retta del fascio di centro P(0,2) e passante per il fuoco di ascissa negativa

c^2 = 1-----> c = -1 ∨ c = 1

quindi: 

[-1, 0] e [0, 2]

(y - 0)/(x + 1) = (2 - 0)/(0 + 1)

y/(x + 1) = 2-----> y = 2·x + 2

Rette del fascio che distano d = √2/2 da [1,0]

Il fascio ha equazione: y = m·x + 2

quindi: m·x - y + 2 = 0

deve essere:

ABS(m·1 - 0 + 2)/√(m^2 + (-1)^2) = √2/2

ABS(m + 2)/√(m^2 + 1) = √2/2

se risolvi ottieni: m = -7 ∨ m = -1

 

Questo sì che è un esercizio da venti minuti! Quasi tutti gli altri sono temi d'esame o, almeno, da verifica di riepilogo (due ore per consegnare).
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Ogni ellisse Γ centrata nell'origine e coi fuochi sull'asse x ha equazione
* Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con
* semiassi 0 < b < a
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2)
* eccentricità e = c/a = √(1 - (b/a)^2)
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Il dato "passa per P(0, 2)" impone il vincolo
* ((0/a)^2 + (2/b)^2 = 1) & (0 < b < a) ≡ (b = 2) & (a > 2)
da cui
* Γ(a) ≡ (x/a)^2 + (y/2)^2 = 1
* c = √(a^2 - 4)
* e = √(1 - (2/a)^2)
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Il dato "ed ha eccentricità √5/5 = 1/√5" impone il vincolo
* (e = √(1 - (2/a)^2) = 1/√5) & (a > 2) ≡ a = √5
da cui
* Γ1 ≡ (x/√5)^2 + (y/2)^2 = 1
* c = 1
* fuochi F(± c, 0) = (± 1, 0)
* vertici {(± a, 0), (0, ± b)} = {(± √5, 0), (0, ± 2)}
* area S del rettangolo richiesto: S = 2*a*2*b = 8*√5
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Il fascio di rette centrato su P(0, 2) basta considerarlo senza scriverlo in quanto nessuno dei quesiti successivi chiede di determinare valori del parametro del fascio, ma entrambi chiedono alcune rette per P.
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a) La retta per P e per F1(- 1, 0): y = 2*(x + 1)
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b) Le rette per P distanti r = √2/2 = 1/√2 da F2(1, 0) cioè tangenti alla circonferenza
* Γ2 ≡ (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (1/√2)^2 ≡ 2*x^2 + 2*y^2 - 4*x + 1 = 0
che si ottengono in tre passi.
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b1) Calcolare la retta polare p di P rispetto a Γ2
* p ≡ 2*x*0 + 2*y*2 - 4*(x + 0)/2 + 1 = 0 ≡ y = (2*x - 1)/4
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b2) Calcolare i punti di tangenza delle rette richieste
* p & Γ2 ≡ (y = (2*x - 1)/4) & ((x - 1)^2 + y^2 = 1/2) ≡
≡ T1(3/10, - 1/10) oppure T2(3/2, 1/2)
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b3) Calcolare le rette richieste come congiungenti PT
* t1 ≡ PT1 ≡ y = 2 - 7*x
* t2 ≡ PT2 ≡ y = 2 - x
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F%E2%88%9A5%29%5E2--%28y%2F2%29%5E2%3D1%2C%28x-1%29%5E2--y%5E2%3D1%2F2%2Cy%3D2-7*x%2Cy%3D2-x%2Cy%3D2*%28x--1%29%5D