[Risolto] Problema di trigonometria

Con riferimento alla figura allegata, al triangolo BCD è applicabile il teorema dei seni per cui si ha:

m = √2·a/SIN(pi/4)·SIN(x)------ > m = 2·a·SIN(x)

n = √2·a/SIN(pi/4)·SIN((3·pi - 4·x)/4) -------  > n = 2·a·SIN(x + pi/4)

Per cui, con riferimento ai triangoli ADC oppure ABD possiamo applicare il teorema di Carnot e scrivere indifferentemente:

a^2 + m^2 - 2·a·m·COS(pi/4 + γ) = d^2

a^2 + n^2 - 2·a·n·COS(pi/4 + x) = d^2

Quindi, se adoperiamo per esempio la prima, andiamo a sostituire in essa i valori di m e di γ segnati sopra ed in figura:

a^2 + (2·a·SIN(x))^2 - 2·a·(2·a·SIN(x))·COS(pi/4 + (3·pi - 4·x)/4) = d^2

per cui si arriva a scrivere:

4·a^2·SIN(x)·COS(x) + 4·a^2·SIN(x)^2 + a^2 = d^2

a^2·(4·SIN(x)·COS(x) + 4·SIN(x)^2 + 1) = d^2

Quindi: C.N. f’(x)=0

2·COS(x)^2 + 2·SIN(x)·COS(x) - 1 = 0

Pongo:

COS(x) = Χ

SIN(x) = Υ

Risolvo il sistema:

{ Χ^2 + Υ^2 = 1

{ 2·Χ^2 + 2·Υ·Χ - 1 = 0

Ed ottengo:

Υ = √(√2 + 2)/2 ∧ Χ = √(2 - √2)/2

Escludo gli altri tre

{ SIN(x) = √(√2 + 2)/2

{ COS(x) = √(2 - √2)/2

Ottengo: x = 3·pi/8

Nella circonferenza di raggio r, per ogni corda lunga c e distante d dal centro, vale la relazione pitagorica
* r^2 = d^2 + (c/2)^2
e, se la corda è vista sotto un angolo alla circonferenza ampio α, vale il Teorema della Corda
* c = 2*r*sin(α)
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Nel quadrato Q di lato "a" e vertici ABKC si tracci una diagonale, lunga c = 2*s = a*√2 (s = a/√2), e si scarti la metà superiore di Q; A è il vertice dell'angolo retto e B e C quelli della diagonale.
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Nella definizione del punto D si hanno
* c = a*√2
* α = π/4
da cui
* a*√2 = 2*r*sin(π/4) ≡ r = a
* a^2 = d^2 + (a/√2)^2 ≡ d = a/√2
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Si tracci la circonferenza Γ di raggio "a" e centro K il cui arco maggiore su BC è il luogo geometrico dei punti D.
Il D per cui è massimo il valore |AD|^2 è, ovviamente, l'intersezione fra Γ e la retta AK.
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Se hai seguito quanto sopra e tracciato un disegno accurato non dovresti impiegare più di due minuti a scrivere il valore di x corrispondente alla costruzione.

SECONDA RISPOSTA
"... non capisco cosa siano s, a, K ..."
* "a" è nel testo, il lato del quadrato Q la cui metà inferiore è il richiesto triangolo ABC.
* "K" è il terzo vertice in senso antiorario (con A in basso a sinistra) del quadrato ABKC, come detto in "Nel quadrato Q di lato "a" e vertici ABKC ...".
* "s" è la semicorda, come detto in "... si tracci una diagonale, lunga c = 2*s = a*√2 (s = a/√2) ...".
La costruzione da fare per identificare il richiesto punto D si riassume come segue.
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Nel quadrato Q di lato "a" e vertici ABKC si tracci una diagonale, lunga c = 2*s = a*√2 (s = a/√2), e si scarti la metà superiore di Q; A è il vertice dell'angolo retto e B e C quelli della diagonale.
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Si tracci la circonferenza Γ di raggio "a" e centro K il cui arco maggiore su BC è il luogo geometrico dei punti D.
Il D per cui è massimo il valore |AD|^2 è, ovviamente, l'intersezione fra Γ e la retta AK.
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La dimostrazione è nella risposta originale.
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Se hai seguito quanto sopra e tracciato un disegno accurato non dovresti impiegare più di due minuti a scrivere il valore di x corrispondente alla costruzione.