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[Risolto] LA PARABOLA matematica

  

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Determina l'equazione della parabola, con asse parallelo all'asse $y$, che passa per i punti $O(0 ; 0)$ e $A(4 ; 0)$ e che ha vertice di ordinata $-2$. Trova poi le coordinate del punto $B$, simmetrico di $V$ rispetto all'asse $x$, e determina l'area e il perimetro del quadrilatero $A B O V$, verificando che si tratta di un quadrato. $\quad\left[y=\frac{1}{2} x^{2}-2 x ; 8 ; 8 \sqrt{2}\right]$

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Potete aiutarmi a risolvere questo esercizio? Grazie

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Coordinate di O(0,0); coordinate di A(4,0). Per le coordinate del vertice V: sta sull'asse di simmetria quindi deve essere ascissa x=2, l'ordinata è data e vale -2, quindi V(2,-2)

La parabola ha equazione del tipo:

y = a·x·(x - 4) perché dovendo passare per O e A la y si deve annullare (annullamento di un prodotto)

Il passaggio da V(2,-2) permette il calcolo di a:

-2 = a·2·(2 - 4)-------->-2 = - 4·a----->a = 1/2

quindi equazione della parabola: y = 1/2·x·(x - 4)-----> y = x^2/2 - 2·x

Il punto B, simmetrico di V, rispetto asse x (cioè y=0), deve avere coordinate: B(2,2)

Il quadrilatero ABOV deve essere quindi un quadrato in quanto ha due diagonali uguali e perpendicolari fra loro nel loro punto medio.

L'area ABOV è quindi data dal prodotto delle due diagonali fratto 2:

A=1/2·4·4 = 8

Il lato del quadrato vale l = √(2^2 + 2^2) = 2·√2

quindi il perimetro: 4·2·√2 = 8·√2  ( = 11.31 circa) 

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Ogni parabola con asse di simmetria parallelo a un asse coordinato ha un'equazione semplificata, con tre soli parametri da determinare invece dei sòliti cinque.
In particolare, ogni parabola Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione di forma
* Γ ≡ y = a*(x - w)^2 + h
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
---------------
A) vertice V(w, - 2) → Γ ≡ y = a*(x - w)^2 - 2
---------------
B) passaggio per O(0, 0) e per A(4, 0) → w = + 2
in quanto gli zeri (2 ± 2, 0) sono simmetrici rispetto all'asse; quindi
* Γ ≡ y = a*(x - 2)^2 - 2
---------------
C) l'apertura si ricava imponendo la posizione degli zeri
* 0 = a*(x - 2)^2 - 2 ≡ x = 2 ± √(2/a) = 2 ± 2 ≡ a = 1/2
da cui infine
* Γ ≡ y = (x - 2)^2/2 - 2 ≡
≡ y = x^2/2 - 2*x
CONTROPROVA nel paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+y%3Dx%5E2%2F2-2*x
e nel paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28y%3D0%29%26%28y%3Dx%5E2%2F2-2*x%29for+x%2Cy+real
---------------
D) La seconda parte è ancora più banale: ti basta osservare che le coordinate del vertice hanno lo stesso valore assoluto ...



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