Ti mostro sùbito i risultati perché la spiegazione di come ricavarli, pur non essendo completa ed esauriente, è comunque lunga e un po' nojosa (ad esser buoni!).
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«Quanti modellini possiede Andrea?»
Ne può solo possedere o 68 o 3524.
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«Qual è la minima misura del lato dello scaffale tale da contenere tutti i modellini col minimo numero di caselle vuote?»
Per 68 modellini il minimo lato è di 9 caselle, per 3524 di 60.
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QUI COMINCIA LA SBOPPALLOSA (sbobba + pallosa)
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Con lo stesso sìmbolo "z" di @Sebastiano a me viene un'equazione diversa dalla sua.
* "con x ne màncano 43" ≡ z = x^2 + 43
* "con y ne avànzano 76" ≡ y^2 = z + 76
Quindi il sistema da risòlvere è
* (z = x^2 + 43) & (y^2 = z + 76)
tutt'altro che lineare perché due variabili su tre sono al quadrato, in due equazioni diverse: il sistema è di grado quattro, non uno; ed è anche indeterminato essendo composto di due sole equazioni, ma in tre variabili.
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La soluzione simbòlica relativa alla sola sintassi del problema (non necessariamente in numeri naturali com'è invece richiesto dalla semàntica) è
* (z = x^2 + 43) & (y^2 = z + 76) & ({x, y, z} in R) ≡
≡ (z = x^2 + 43) & (y^2 = x^2 + 43 + 76 = x^2 + 119) & ({x, y, z} in R) ≡
≡ (y = ± √(x^2 + 119)) & (z = x^2 + 43) & ({x, y, z} in R)
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Da tale soluzione nei reali si può ricavare quella richiesta nei naturali, solo se si può soddisfare ad alcune condizioni:
1) per avere z naturale x dev'essere intero (ma dev'essere naturale anche x);
2) la radice dev'essere positiva (poco male, dev'essere naturale anche y);
3) qui viene il bello, il radicando dev'essere un quadrato perfetto!
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Il problema si è ridotto a "l'iperbole y^2 - x^2 = 119 ha punti a coordinate intere nel primo quadrante?" cioè
* (y^2 - x^2 = 119) & ({x, y} in N) ≡
≡ (5, 12) oppure (59, 60)
Vedi il grafico e il paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28y%3D%284%2F9%29*%282*x%2B17%29%29%26%28y%5E2-x%5E2%3D119%29for+x%2Cy+real
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RISOLUZIONE DEL PROBLEMA RIDOTTO
Ci vuole troppa dattilografia per adattare a questo caso l'identità di Eulero e svilupparne tutti i passaggi, almeno per il caso generale.
Ti mostro il caso semplice
* y^2 - x^2 = 119 ≡
≡ (y + x)*(y - x) = 7*17 ≡
≡ (y + x = 17) & (y - x = 7) ≡
≡ (x = 5) & (y = 12)
ma poi devi fare conto che l'altra soluzione sia stata trovata per tentativi ed errori, tabulando una dozzina per volta le coppie
* {k, √(k^2 + 119)}
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bk%2C%E2%88%9A%28k%5E2%2B119%29%7D%2C%7Bk%2C49%2C60%7D%5D
NB: ti lascio tutto il piacere di dimostrare l'inesistenza di ulteriori soluzioni.
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RISOLUZIONE DEL PROBLEMA ORIGINALE
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Prima parte: «Quanti modellini possiede Andrea?» cioè «quanto vale z?»
Da
* (y = √(x^2 + 119)) & (z = x^2 + 43)
si ricavano le due sole soluzioni
A) (x, y, z) = (59, 60, 3524)
B) (x, y, z) = (5, 12, 68)
Quindi la risposta è
* Ne può solo possedere o 68 o 3524.
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Seconda parte: «Qual è la minima misura del lato dello scaffale tale da contenere tutti i modellini col minimo numero di caselle vuote?» cioè «qual è il minimo quadrato perfetto non inferiore a z?»
Da
* √3524 ~= 59.36
* √68 ~= 8.246
si deduce che
* 59^2 = 3481 <= 3524 < 3600 = (59 + 1)^2
* 8^2 = 64 <= 68 < 81 = (8 + 1)^2
Quindi la risposta è
* Per 68 modellini il minimo lato è di 9 caselle, per 3524 di 60.
