[Risolto] La parabola matematica aiuto

1) Trova per quale valore di k la parabola di equazione y=kx^2-kx+6 passa per il punto P(-1;3) risultato -3/2.

Per imporre che un punto appartenga a una parabola, sostituiamo le coordinate del punto e imponiamo che sia un'identità:

$3 = k(-1)^2-k(-1)+6 $

$3 = k+k + 6 $

$ 2k = 3-6 \Rightarrow 2k = -3 \Rightarrow k = -\frac32$

2) La parabola di equazione y=-2/5 x^2-6/5x+8/5 incontra l' asse x nei punti A e B. Detto V il vertice della parabola, calcola l' area del triangolo ABV.

Per calcolare l'area del triangolo $ABV$ troviamo le coordinate di questi punti.

Per determinare l'intersezione con l'asse $x$ dobbiamo risolvere la seguente equazione:

$-\frac25 x^2-\frac65 x +\frac85 = 0 $

$-2x^2-6x+8 = 0 $

$ x^2 +3x -4 = 0 $

$ ( x+4)(x-1) = 0 \Rightarrow A(-4; 0) \vee B(1; 0)$

Mentre il vertice è:

$x_v = -\frac{b}{2a} = - \frac{-\frac65}{-\frac45} = -\frac{6}{4} = -\frac32 $

$y_v = - \frac{\Delta}{4a} = -\frac{ b^2-4ac}{4a} = +\frac{ 36+64}{8} = \frac{5}{2} $

Il triangolo in questione ha base $AB = 1-(-4) = 1+4 =5 $

e altezza $MV$ dove $M$ è il punto medio di $AB$, che è $(-\frac32; 0 )$

quindi $MV = \frac{25}{2} - 0 = \frac{5}{2} $

L'area del triangolo è: $ 5 \cdot \frac{5}{2} \frac12 = \frac{25}{4} = 6.25 $ 

3) La parabola di equazione y=-2/5x^2+8/5x+2 interseca l' asse x nei punti A e B, l' asse y nel punto C e ha vertice V. Determina l' area del quadrilatero che ha per vertici i punti A,B,C e V. Risultato 12

Come prima possiamo determinare $A$ e $B$ risolvendo l'equazione

$-\frac25 x^2+\frac85 x +2 = 0 $

ottenendo $A(-1; 0)$ $B(5; 0)$

Per trovare l'intersezione con l'asse $y$, sostituiamo $x = 0$ nell'equazione della parabola, ottenendo:

$y = 0 + 0 +2 = 2 \Rightarrow C(0;2)$

Per il vertice, come prima, calcoliamo 

$x_v = 2$

$y_v = \frac{18}{5} $

Per l'area, suddividiamo il quadrilatero così:

Formando un triangolo in basso, che ha base $AB = 6$ e altezza $OC=2$, quindi area $6$.

Per l'altro triangolo, ha base 

$BC  = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}

e altezza la distanza punto retta tra V e la retta gialla.

Determiniamo la retta gialla:

$m = -\frac25 $

$y  = -\frac25 x+2 $

$ 5y +2x-10 = 0$

e la distanza punto retta con V è:

$\frac{|5 \cdot \frac{18}{5}+2\cdot 2-10|}{\sqrt{25+4}}$

$ = \frac{ 12}{\sqrt{29}}$

Quindi il triangolo ha area:

$\sqrt{29} \cdot \frac{12}{\sqrt{29}}\frac12 = 6 $

L'area complessiva è $6+6= 12$