[Risolto] Iperbole

La funzione omografica
* y = (a*x + b)/(c*x + d)
rappresenta un'iperbole, a condizione che (a*d != b*c) & (c != 0), con asintoti
* x = - d/c
* y = a/c
ortogonali, e quindi equilatera e centrata in C(- d/c, a/c).
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La funzione omografica
* y = (2*x + 10)/(x + 3)
ha
* c = 1 != 0
* a*d != b*c ≡ 2*3 != 10*1 ≡ Vero
quindi rappresenta un'iperbole Γh con asintoti
* x = - 3
* y = 2
e quindi centro C(- 3, 2), coincidente con quello della richiesta circonferenza di raggio r = 2*√2
* Γc ≡ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = (2*√2)^2
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Il sistema
* Γh & Γc ≡ (y = (2*x + 10)/(x + 3)) & ((x + 3)^2 + (y - 2)^2 ≡ (2*√2)^2)
ha risolvente
* (x + 3)^2 + ((2*x + 10)/(x + 3) - 2)^2 - (2*√2)^2 = 0 ≡
≡ ((x + 5)*(x + 1)/(x + 3))^2 = 0
con due radici doppie in (x = - 5) oppure (x = - 1); perciò le curve sono bitangenti nei vertici di Γh
* V1(- 5, 0), V2(- 1, 4)
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Le tangenti t nei V, ortogonali all'asse focale di Γh, hanno pendenza m = - 1 e distano r da C
* t(q) ≡ y = q - x
* |Ct| = d(q) = √((q + 1)^2)/√2 = 2*√2 ≡
≡ (q + 1)^2 = 4^2 ≡
≡ q = - 1 ± 4
da cui
* t(- 5) ≡ y = - 5 - x
* t(+ 3) ≡ y = 3 - x
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RISULTATI DELLE CONSEGNE
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A) "Scrivi l'equazione ...": vedi Γc.
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B) "Trova i punti di intersezione ...": NESSUNO.
Ci sono però due punti di tangenza nei vertici di Γh.
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C) "... individua le tangenti nei punti comuni": AH, LO SAPEVI CHE C'ERANO LE TANGENZE! E perché diavolo m'hai chiesto le intersezioni?
Vedi la parabola degenere
* Γp ≡ (x + y)^2 + 2*(x + y) - 15 = 0
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D) http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%282*x--10%29%2F%28x--3%29%2C%28x--3%29%5E2%3D8-%28y-2%29%5E2%2C%28x--y%29%5E2--2*%28x--y%29%3D15%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9

Ciao.

Vedi grafico allegato.