iperbole

Scrivo il fascio di rette passante per P:

$y-y_P=m(x-x_P)$ ----> y=mx-\frac{16}{5}m

Ora sostituisco il valore della y ottenuta dal fascio di rette passante per P nell'equazione dell'iperbole:

$x^2-[mx-\frac{16}{5}m]^2=16$

$x^2-m^2x^2-\frac{256}{25}m^2+\frac{32}{5}m^2x-16=0$

m.c.m.

$\frac{25x^2-25m^2x^2-256m^2+160m^2x-400}{25}=0$

$(25-25m^2)x^2+160m^2x-256m^2-400=0$

Ora bisogna imporre Δ=0, cioè $b^2-4ac=0$:

$25600m^4-4(25-25m^2)(-256m^2-400)=0$

$25600m^4+25600m^2+40000-25600m^4-40000m^2=0$

$25600m^2+40000-40000m^2=0$

$14400m^2-40000=0$

$14400m^2=40000$

$m^2=\frac{25}{9}$ ----> $m_1=\frac{5}{3}$ v $m_2=-\frac{5}{3}$

Sostituisco m1 ed m2 nell'equazione del fascio e ottengo le 2 tangenti:

$t_1 : y=\frac{5}{3}x-\frac{16}{3}$

$t_2 : y=-\frac{5}{3}x+\frac{16}{3}$

Retta polare
L'iperbole ha la forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 - y^2 - 16 = 0
da cui si ricava la polare di P(16/5, 0)
* p ≡ (16/5)*x - 0*y - 16 = 0 ≡ x = 5
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Punti di tangenza
* p & Γ ≡ (x = 5) & (x^2 - y^2 = 16) ≡
≡ T1(5, - 3) oppure T2(5, + 3)
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Rette tangenti
* t1 ≡ PT1 ≡ y = (16 - 5*x)/3
* t2 ≡ PT2 ≡ y = (5*x - 16)/3
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-5%29*%28%2816-5*x%29%5E2-9*y%5E2%29%3D0%2Cx%5E2-y%5E2%3D16%5D
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, "f(x, y) = 0", lasciandone inalterati i coefficienti e operandovi le sostituzioni (formule di sdoppiamento) seguenti:
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Secondo la posizione del polo rispetto alla conica si danno tre casi.
Se P è interno a Γ allora p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se P è su Γ allora p(Γ, P) è la tangente in P.
Se P è esterno a Γ allora p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.