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[Risolto] Qualcuno può aiutarmi con questo es. sull'iperbole equilatera?

  

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scrivi l'equazione della funzione omografica il cui grafico passa per l'origine degli assi e ha centro nel punto (1,1). Determina poi le equazioni delle due tangenti t e t' nei vertici dell'iperbole e, considerata la retta di equazione generica y=k, trova per quale valore di k si forma, con l'asse x e le due tangenti t e t', un rombo.

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1 Risposta
1

La funzione
* Γ ≡ y = (x + b)/(c*x + d)
ha asintoti
* x = - d/c
* y = 1/c
che, dovendo intersecarsi nel centro C(1, 1), impongono il vincolo
* (1 = - d/c) & (1 = 1/c)
Se poi il suo grafico deve passare per l'origine, il vincolo si arricchisce di un terzo congiunto
* (1 = - d/c) & (1 = 1/c) & (b/d = 0)
da cui
* (b = 0) & (c = 1) & (d = - 1)
* Γ ≡ y = x/(x - 1)
---------------
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptotes+of+y%3Dx%2F%28x-1%29
------------------------------
L'iperbole
* Γ ≡ y = x/(x - 1)
ha i vertici V1(0, 0) e V2(2, 2) allineati col centro C(1, 1) su una parallela alla diagonale dei quadranti dispari; quindi la tangente in V1 è la diagonale dei quadranti pari (t1 ≡ y = - x) che ovviamente interseca l'asse x nell'otigine; quella in V2 le è parallela
* t2 ≡ y = 4 - x
e interseca l'asse x in (4, 0).
Quindi il rombo deve avere lato
* L = 4
il che si ottiene tracciando la retta del quarto lato
* y = 4/√2 = 2*√2
che interseca le tangenti in
* (- 2*√2, 2*√2), (4 - 2*√2, 2*√2)
---------------
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%280%2C0%29%284%2C0%29%284-2*%E2%88%9A2%2C2*%E2%88%9A2%29%28-2*%E2%88%9A2%2C2*%E2%88%9A2%29

Grazie mille!

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