[Risolto] Integrali analisi

Dopo aver verificato
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5By%3D-2*%28x%5E3-4*x%29%2Cy%3D%28x%5E3%2B1%29%2F%E2%88%9A%28x%5E5%2B6%29%2Cy%3D%28x%5E2%2B4%29%2F%E2%88%9A%28x%5E2%2B5%29%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-7to7
l'attendibilità dello schizzo fornito sulle posizioni relative dei punti CFHG, mi propongo di effettuare le operazioni che elenco di seguito per approssimare l'area richiesta come somma di tre integrali
* da xC a xG, della differenza f - g
* da xG a xH, della differenza h - g
* da xH a xF, della differenza f - g
Ho scritto approssimare e non calcolare perché, a colpo d'occhio, non mi sembra che le risolventi dei sistemi "g & f" e "h & f" siano di quelle che si risolvono per radicali; ho la netta impressione che finisca a metodi grafico-numerici.
Mi lasciano perplesso sia il titolo ("Integrali analisi") che la prima parola del testo che è proprio "Calcolare": un esercizio di Analisi non dovrebbe comportare calcoli numerici, ma solo simbolici.
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A) Localizzare la zona delle soluzioni.
Secondo lo schizzo (attendibile) le soluzioni devono essere nel primo quadrante dove
* f(x) = y = - 2*(x^3 - 4*x)
ha il massimo relativo in (2/√3, 32/(3*√3)) ~= (1.15, 6.16) e gli zeri nell'origine e in (2, 0).
Quindi, fra le radici reali e in (0, 2) di ciascuna risolvente (le possibili ascisse di CFHG), sceglierò la coppia la cui media meglio approssimi 1.15, e le cui corrispondenti ordinate siano minori di 6.16
E questo dovrebbe restringere notevolmente le indecisioni.
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B) Localizzare C ed F.
Il sistema
* g & f ≡ (y = (x^3 + 1)/√(x^5 + 6)) & (y = - 2*(x^3 - 4*x))
ha risolvente
* (x^3 + 1)/√(x^5 + 6) = - 2*(x^3 - 4*x) ≡
≡ √(x^5 + 6) = (x^3 + 1)/(2*(x^3 - 4*x)) ≡ [NB: quadratura!]
≡ (x^5 + 6) = (x^3 + 1)^2/(2*(x^3 - 4*x))^2 ≡
≡ (x^5 + 6)*(2*(x^3 - 4*x))^2 - (x^3 + 1)^2 = 0 ≡
≡ ((((((4*(x^2 - 8))*x^2 + 64)*x + 23)*x^2 - 192)*x - 2)*x + 384)*x^2 - 1 = 0
Per cercare radici reali in (0, 2) inizio con un grafico della zona d'indagine
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%28%28%28%28%28%284*%28x%5E2-8%29%29*x%5E2%2B64%29*x%2B23%29*x%5E2-192%29*x-2%29*x%2B384%29*x%5E2-1%5Dx%3D-1to3%2Cy%3D-1to7
e poi un altro nei pressi dei puntini rossi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%28%28%28%28%28%284*%28x%5E2-8%29%29*x%5E2%2B64%29*x%2B23%29*x%5E2-192%29*x-2%29*x%2B384%29*x%5E2-1%5Dx%3D-1%2F2+to5%2F2%2Cy%3D-3%2F2+to1%2F2
da cui si rilevano due soli zeri accettabili, che andranno raffinati: xC a circa 1/10 e xF a circa 19/10.
Sempre che non risultino due spurie introdotte dalla quadratura.
Tanto per conforto morale mi calcolo anche
* f(1/10) = 399/500 ~= 0.8
* f(19/10) = 741/500 ~= 1.5
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C) Localizzare G ed H
Analogamente al punto B
* h & f ≡ (y = (x^2 + 4)/√(x^2 + 5)) & (y = - 2*(x^3 - 4*x))
ha risolvente
* (x^2 + 4)/√(x^2 + 5) = - 2*(x^3 - 4*x) ≡
≡ √(x^2 + 5) = (x^2 + 4)/(8*x - 2*x^3) ≡
≡ (((4*(x^2 - 3))*x^2 - 97)*x^2 + 312)*x^2 - 16 = 0
Basta il primo grafico
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%28%28%284x%5E2-12%29*x%5E2-97%29*x%5E2%2B312%29*x%5E2-16%5Dx%3D-1to3%2Cy%3D-1to7
a mostrare che, con (G ~≡ C) & (H ~≡ F), non c'è molto da contare sui metodi grafici e che è bene passare subito a raffinare le radici.
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C) Approssimare uno zero di p(x)
Il calcolo numerico si fa raffinando uno zero di p(x), isolato nell'intervallo [a, b], con "Strumenti/Ricerca obiettivo ..." di Excel, cercando il valore che annulla l'espressione p(x), innescando opportunamente il calcolo (p.es. col valore x = (a + b)/2).
Per isolare uno zero di p(x) basta qualche valutazione (se del caso, in Excel).
Ma si può anche fare a mano libera con carta, penna e WolframAlpha in modo da sorvegliare come procedono le cose.
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C1) p(x) = ((((((4*(x^2 - 8))*x^2 + 64)*x + 23)*x^2 - 192)*x - 2)*x + 384)*x^2 - 1
* p(0) = - 1 < 0
* p(0.1) = 2.81883 > 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%28%28%28%284*%28x%5E2-8%29%29*x%5E2%2B64%29*x%2B23%29*x%5E2-192%29*x-2%29*x%2B384%29*x%5E2-1+where+x%3D0.1
e con ciò si è isolato xC.
* p(2) = - 81 < 0
* p(1.9) = 5.79722 > 0
e con ciò si è isolato xF.
TI LASCIO IL PIACERE DI DECIDERE COME PROSEGUIRE, se con Excel o con WolframAlpha.
Quando avrai deciso, prosegui da te: a me basta così; mi sono divertito e ti ringrazio ancora, ma è ora di passare alle incombenze sanitarie della sera.
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C2) p(x) = (((4*(x^2 - 3))*x^2 - 97)*x^2 + 312)*x^2 - 16
Vedi il punto C1.
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sulla pagina 380 si legge : integrali anali 😂