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[Risolto] Integrali analisi

  

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4E860065 5C97 40A6 8C15 9A7AA8956D01
FB341C0C 4091 4C34 845F EB6D249A855D
4CA53A01 92CF 4CD1 B7F3 9270B7823BFD

 

Ho difficoltà nel calcolo dell’area CGHF

 

Autore

@sid_mayer se ti può consolare, a prima vista ho difficolta anch'io... 😊 

A parte gli scherzi, a meno che non ci sia un trucco per semplificare i conti, questo esercizio è di una crudeltà infernale. Sono sincero: purtroppo non ho tempo per provare a risolverlo.

Ok chiedo agli americani 🤣 Scherzo.

@sid_mayer

Grazie, sembra un ottimo passatempo per un vecchietto che si muove poco!

Se concludo qualcosa di accettabile, anche se parziale, ti rispondo.

Per ora ringrazio, mi riservo di analizzare quanto è stato scritto e di continuare questo tremendo, sadico esercizio.

grazie.

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Dopo aver verificato
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5By%3D-2*%28x%5E3-4*x%29%2Cy%3D%28x%5E3%2B1%29%2F%E2%88%9A%28x%5E5%2B6%29%2Cy%3D%28x%5E2%2B4%29%2F%E2%88%9A%28x%5E2%2B5%29%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-7to7
l'attendibilità dello schizzo fornito sulle posizioni relative dei punti CFHG, mi propongo di effettuare le operazioni che elenco di seguito per approssimare l'area richiesta come somma di tre integrali
* da xC a xG, della differenza f - g
* da xG a xH, della differenza h - g
* da xH a xF, della differenza f - g
Ho scritto approssimare e non calcolare perché, a colpo d'occhio, non mi sembra che le risolventi dei sistemi "g & f" e "h & f" siano di quelle che si risolvono per radicali; ho la netta impressione che finisca a metodi grafico-numerici.
Mi lasciano perplesso sia il titolo ("Integrali analisi") che la prima parola del testo che è proprio "Calcolare": un esercizio di Analisi non dovrebbe comportare calcoli numerici, ma solo simbolici.
------------------------------
A) Localizzare la zona delle soluzioni.
Secondo lo schizzo (attendibile) le soluzioni devono essere nel primo quadrante dove
* f(x) = y = - 2*(x^3 - 4*x)
ha il massimo relativo in (2/√3, 32/(3*√3)) ~= (1.15, 6.16) e gli zeri nell'origine e in (2, 0).
Quindi, fra le radici reali e in (0, 2) di ciascuna risolvente (le possibili ascisse di CFHG), sceglierò la coppia la cui media meglio approssimi 1.15, e le cui corrispondenti ordinate siano minori di 6.16
E questo dovrebbe restringere notevolmente le indecisioni.
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B) Localizzare C ed F.
Il sistema
* g & f ≡ (y = (x^3 + 1)/√(x^5 + 6)) & (y = - 2*(x^3 - 4*x))
ha risolvente
* (x^3 + 1)/√(x^5 + 6) = - 2*(x^3 - 4*x) ≡
≡ √(x^5 + 6) = (x^3 + 1)/(2*(x^3 - 4*x)) ≡ [NB: quadratura!]
≡ (x^5 + 6) = (x^3 + 1)^2/(2*(x^3 - 4*x))^2 ≡
≡ (x^5 + 6)*(2*(x^3 - 4*x))^2 - (x^3 + 1)^2 = 0 ≡
≡ ((((((4*(x^2 - 8))*x^2 + 64)*x + 23)*x^2 - 192)*x - 2)*x + 384)*x^2 - 1 = 0
Per cercare radici reali in (0, 2) inizio con un grafico della zona d'indagine
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%28%28%28%28%28%284*%28x%5E2-8%29%29*x%5E2%2B64%29*x%2B23%29*x%5E2-192%29*x-2%29*x%2B384%29*x%5E2-1%5Dx%3D-1to3%2Cy%3D-1to7
e poi un altro nei pressi dei puntini rossi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%28%28%28%28%28%284*%28x%5E2-8%29%29*x%5E2%2B64%29*x%2B23%29*x%5E2-192%29*x-2%29*x%2B384%29*x%5E2-1%5Dx%3D-1%2F2+to5%2F2%2Cy%3D-3%2F2+to1%2F2
da cui si rilevano due soli zeri accettabili, che andranno raffinati: xC a circa 1/10 e xF a circa 19/10.
Sempre che non risultino due spurie introdotte dalla quadratura.
Tanto per conforto morale mi calcolo anche
* f(1/10) = 399/500 ~= 0.8
* f(19/10) = 741/500 ~= 1.5
------------------------------
C) Localizzare G ed H
Analogamente al punto B
* h & f ≡ (y = (x^2 + 4)/√(x^2 + 5)) & (y = - 2*(x^3 - 4*x))
ha risolvente
* (x^2 + 4)/√(x^2 + 5) = - 2*(x^3 - 4*x) ≡
≡ √(x^2 + 5) = (x^2 + 4)/(8*x - 2*x^3) ≡
≡ (((4*(x^2 - 3))*x^2 - 97)*x^2 + 312)*x^2 - 16 = 0
Basta il primo grafico
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%28%28%284x%5E2-12%29*x%5E2-97%29*x%5E2%2B312%29*x%5E2-16%5Dx%3D-1to3%2Cy%3D-1to7
a mostrare che, con (G ~≡ C) & (H ~≡ F), non c'è molto da contare sui metodi grafici e che è bene passare subito a raffinare le radici.
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C) Approssimare uno zero di p(x)
Il calcolo numerico si fa raffinando uno zero di p(x), isolato nell'intervallo [a, b], con "Strumenti/Ricerca obiettivo ..." di Excel, cercando il valore che annulla l'espressione p(x), innescando opportunamente il calcolo (p.es. col valore x = (a + b)/2).
Per isolare uno zero di p(x) basta qualche valutazione (se del caso, in Excel).
Ma si può anche fare a mano libera con carta, penna e WolframAlpha in modo da sorvegliare come procedono le cose.
---------------
C1) p(x) = ((((((4*(x^2 - 8))*x^2 + 64)*x + 23)*x^2 - 192)*x - 2)*x + 384)*x^2 - 1
* p(0) = - 1 < 0
* p(0.1) = 2.81883 > 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%28%28%28%284*%28x%5E2-8%29%29*x%5E2%2B64%29*x%2B23%29*x%5E2-192%29*x-2%29*x%2B384%29*x%5E2-1+where+x%3D0.1
e con ciò si è isolato xC.
* p(2) = - 81 < 0
* p(1.9) = 5.79722 > 0
e con ciò si è isolato xF.
TI LASCIO IL PIACERE DI DECIDERE COME PROSEGUIRE, se con Excel o con WolframAlpha.
Quando avrai deciso, prosegui da te: a me basta così; mi sono divertito e ti ringrazio ancora, ma è ora di passare alle incombenze sanitarie della sera.
---------------
C2) p(x) = (((4*(x^2 - 3))*x^2 - 97)*x^2 + 312)*x^2 - 16
Vedi il punto C1.
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sulla pagina 380 si legge : integrali anali 😂

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