[Risolto] Integrale indefinito

Questo appartiene alla famiglia

S 1/(t^2 + a^2) ^n dt

che si svolgono per ricorrenza usando la regola per parti. Ora non posso scrivere ma sono sul primo volume di Fiorenza Greco. 

In sintesi si procede così

In = 1/a^2 S (t^2 + a^2 - t^2)/(t^2 + a^2)^n dt =

= 1/a^2 S 1/(t^2 + a^2)^(n-1) dt - 1/a^2 S t^2/(t^2 + a^2)^n dt =

= 1/a^2 * In-1 - 1/a^2 * 1/2 S 2t*t /(t^2 + a^2)^(n-1) dt =

= 1/a^2 * In-1 - 1/(2a^2) [ (x^2 + a^2)^(-n+1)/(-n+1)*x - S 1*(x^2 + a^2)^(-n+1)/(-n+1) dx =

= 1/a^2 In-1 + 1/[(2a^2)(n-1)]* x/(x^2 + a^2)^(n-1) - 1/(2a^2(n-1)) In-1 + C =

= 1/a^2 [ 1 - 1/(2(n-1)) ] In-1 + x/(2a^2(n-1)(x^2+a^2)^(n-1) + C =

= 1/a^2 (2n-3)/(2n-2) In-1 + x/(2a^2(n-1)(x^2+a^2)^(n-1) + C.

Più tardi scrivo la seconda parte.

I3 = 1/2 * 3/2 I2 + x/(2*2*2(x+2)^2) + c =

= 3/4 I2 + x/(8(x^2+2)^2) + C =

= 3/4 [ 1/2*1/2 I1 + x/(2*2*1(x^2+2)) ] + x/(8(x^2+2)^2) + C =

= 3/16 I1 + 3/16 x/(x^2 + 2) + x/(8(x^2+2)^2) + C

= 3/(16 rad 2) arctg* (x/rad 2) + 3/16 x/(x^2 + 2) + x/(8(x^2+2)^2) + C

http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integrali_indefiniti_di_funzioni_razionali