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Esercizio limiti senza l'hopital e serie

  

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Risolvi senza utilizzare l'hopital il seguente limite:

f(x)=(senx)^tgx

L=lim x->0 f(x)

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E' una forma indeterminata del tipo 0^0

f(x) = e^[tg x * ln sin x] =

= e^[ sin x/cos x * ln sin x ]

Quando x -> 0 il coseno tende a 1

lim_x->0 e^[ sin x/x * x * (ln sin (x)/x + ln x) ] =

= lim_x->0 e^ (x ln x) =

= e^[lim_x->0+  ln x/(1/x)].

Mi fermo qui. Il risultato del limite é 1 ma se lo devo dimostrare

non so farlo senza De L'Hospital.

@eidosm Bravo! Nemmeno a me piacciono quelli che ti dicono quando, dove e  come devi fare pipì. E se l'ho già fatta dieci minuti fa dove e come pareva a me?

@eidosm anch'io, ma la sfida è nell'usare solamente le conoscenze di un quinto liceo scientifico prima di affrontare le derivate.

Ok. Allora prova a ricordare come avete dimostrato lim_x->0  x^x prima di studiare le derivate.

Ti spiego meglio

All'esponente potresti fare dei cambi di variabile

lim_u->+oo ln (1/u)/u =

= - lim_u->+oo ln (u)/u =

= - lim_v->+oo v/e^v

Ma qui ti devi ricordare che

lim_y->+oo y^k/a^y = 0 se é a > 1

e questo non so se e come lo avete dimostrato.



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\[\lim_{x\to 0} \sin{x}^{\tan{x}} = 0^0 \therefore \lim_{x\to 0} \sin{x}^{\tan{x}} = \lim_{x\to 0} e^{\log{\sin{x}^{\tan{x}}}} =\]

\[=\lim_{x\to 0} e^{\tan{x} \cdot \log{\sin{x}}} \overset{\text{Taylor}}{\approx} \lim_{x\to 0} e^{x \cdot \log{x}} = e^0 = 1\,.\]

@enrico_bufacchi taylor non è ammesso, è tratto da un libro di quinto liceo scientifico dal capitolo dei limiti senza de l'hopital.



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Faremo uso dell'ultimo della lista dei limiti notevoli, molto spesso dimenticato, e cioè

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} xln(x) = 0^- $  

Il limite dato equivale al seguente

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \,\, e^{tan(x) \cdot ln(sin(x))} $

essendo l'esponenziale una funzione continua, possiamo calcolare a parte il limite dell'esponente.

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} tan(x) \cdot ln(sin(x)) $

che equivale a

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{tan(x)}{x} \cdot x [ln(\frac{sin(x)}{x} \cdot x)] $

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{tan(x)}{x} \cdot x [ln \frac{sin(x)}{x} + lnx)] $

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{tan(x)}{x} \cdot [x\cdot ln \frac{sin(x)}{x} + x\cdot lnx)] $

osserviamo che per x → 0⁺ si ha:

-) $ \frac{tan(x)}{x} → 1$

-) $x\cdot ln \frac{sin(x)}{x} → 0$

-) $x \cdot ln(x) → 0^-$

quindi l'esponente tende a 0, così il limite dato tenderà a 1.



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limite 1
limite 2



Risposta




SOS Matematica

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