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Come si dimostra il teorema sull'esistenza della radice n-esima?

  

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Sul mio libro di analisi con c'è e su internet non ho trovato praticamente nulla. Qual è la dimostrazione di questo teorema?

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https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_dell%27algebra

 

Dal teorema segue che un polinomio a coefficienti complessi {di grado n} ammette esattamente n radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio {di grado n} a coefficienti reali ammette al più n radici reali.

 

Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.

... ovviamente ...:

z^n + ao

è un polinomio dove è 1 il coefficiente di  z^n  e sono nulli gli altri escluso quello di grado zero , per il "th fond.dell'algebra" ammette n zeri {tra complessi e reali} che sono le radici n-esime di -ao.




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Con
* x, y, ρ, θ reali
* ρ > 0
* 0 <= θ < 2*π
si rappresentano
il valore complesso
* z = x + i*y = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sen(θ))
il suo coniugato
* z' = x - i*y = ρ * e^(- i*θ) = ρ * (cos(θ) - i*sen(θ))
il suo modulo
* |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
e la sua anomalia (o fase o argomento: arg(z) = θ) per distinzione di casi sul segno della parte reale
* per x < 0: θ = π + arctg(y/x)
* per x = 0: θ = π/2
* per x > 0: θ = arctg(y/x)
---------------
Usando la Formula di Eulero
* e^(i*θ) = cos(θ) + i*sen(θ)
si definisce la potenza
* z^m = (ρ * e^(i*θ))^m = (ρ^m) * e^(i*m*θ)
---------------
Se m = 1/n si hanno n radici n-me
* z^(1/n)[k] = (ρ^(1/n)) * e^(i*θ/n + k*(2*π/n)), k in [0 .. n - 1]
in quanto l'n-ma potenza di ciascuna di esse dà z.
---------------
Le radici
* z^(1/n)[k]/ρ^(1/n) = e^(i*θ/n + k*(2*π/n)), k in [0 .. n - 1]
si chiamano "radici dell'unità" e, sul piano di Argand-Gauss, sono i vertici di un n-agono regolare, centrato nell'origine e inscritto nel cerchio unitario, con un vertice su z^(1/n)[0]/ρ^(1/n) = e^(i*θ/n)
------------------------------
Dopo questo po' po' di premessa, arriva la RISPOSTA a quale sia la dimostrazione di esistenza della radice n-ma: esiste la radice con indice intero di qualsiasi valore complesso in quanto nel cerchio unitario si può inscrivere qualunque poligono regolare.

Risposta



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