Esercizio di geometria dimostrazione

Esiste una sola circonferenza che passa per i vertici del triangolo rettangolo dato e l'ipotenusa di tale triangolo è il diametro di tale circonferenza. 

L'angolo indicato con α è l'angolo al centro, quello indicato con β è angolo alla circonferenza: tali angoli sono sottesi allo stesso arco BC e, pertanto, il primo è il doppio del secondo.

(la figura è solo indicativa)

Dimostrazione:

Sia ABC un triangolo rettangolo con ipotenusa AB e mediana CM relativa all'ipotenusa.

Considera il punto medio M della ipotenusa AB e connetti C con M formando la mediana CM. Sia O il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.

L'angolo al centro CMB è il doppio dell'angolo al vertice CAB. Questo deriva dalla proprietà degli angoli al centro che sono il doppio degli angoli che sottendono nella circonferenza.

L'angolo alla circonferenza sotteso dal segmento CA è uguale all'angolo al vertice CAB. Questo è un risultato della proprietà degli angoli sottesi da corde congruenti.

Poiché l'angolo alla circonferenza è uguale all'angolo al vertice e l'angolo al centro è il doppio dell'angolo al vertice, abbiamo che CMB = 2 * CAB.