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[Risolto] Geometria problema urgente

  

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In un triangolo rettangolo $A B C$, i due cateti $A B$ e $A C$, misurano rispettivamente $6 a$ e $8 a$. Sul cateto $A B$ prendi un punto $P$ e sul cateto $A C$ un punto $Q$; da $P$ traccia la perpendicolare ad $A B$ che incontra $B C$ in $P^{\prime}$ e da $Q$ la perpendicolare ad $A C$ che incontra $B C$ in $Q^{\prime}$. Determina la posizione dei punti $P$ e $Q$ (sapendo che $P^{\prime}$ è più vicino a $B$ di $Q^{\prime}$ ) in modo che $\overline{P B}+\overline{Q C}=6 a$ e che $\overline{P^{\prime} Q^{\prime}}=a$.
$$
\left[\overline{Q C}=\frac{12}{5} a, \overline{P B}=\frac{18}{5} a\right]
$$

Immagine WhatsApp 2024 05 22 ore 18.58.21 01f36c59

Grazie a chi lo risolvera. Se possibile mostrare tutti i passaggi per la risoluzione

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Tutti i triangoli rettangoli che entrano nella figura sono appartenenti alla terna pitagorica primitiva:

[3, 4, 5]= [cateto minore, cateto maggiore, ipotenusa]

In particolare l'ipotenusa del triangolo ABC varrà:  BC=10 a

Nel triangolo rettangolo BPP' vale quindi la proporzione:

4/3 = PP'/(6·a - y)---->PP' = 4/3·(6·a - y)

Nel triangolo rettangolo QCQ' vale la proporzione:

4/3 = (8·a - x)/QQ'-----> QQ' = 3/4·(8·a - x)

BP' = √((4/3·(6·a - y))^2 + (6·a - y)^2) = 5·(6·a - y)/3

Q'C = √((8·a - x)^2 + (3/4·(8·a - x))^2) = 5·(8·a - x)/4

BC=5·(6·a - y)/3 + 5·(8·a - x)/4 + a = 10·a

deve inoltre essere: (6·a - y) + (8·a - x) = 6·a in base al testo

Quindi risolvendo il sistema:

{15·x + 20·y - 252·a = - 120·a

{x + y - 14·a = - 6·a

-----------

{15·x + 20·y = 132·a

{x + y = 8·a

si ottiene:

x = 28·a/5 ∧ y = 12·a/5

da cui:

6·a - y = 6·a - 12/5·a = 18·a/5

8·a - x = 8·a - 28/5·a = 12·a/5

 

 



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SOS Matematica

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