[Risolto] Analitica nello spazio

Ciao.

Hai le due rette:

{x - y + z - 3 = 0

{2·x - 3·y - 6 = 0

retta r

{x = 1 + t

{y = -1 + t

{z = 1 + t

retta s

Porta in forma parametrica la retta r:

{x = 3 - 3·t

{y = - 2·t

{z = t

(poni z=t e risolvi un sistema come se t fosse qualcosa che conosci)

Vediamo prima se le rette sono sghembe: non devono essere parallele e non devono essere incidenti.

I vettori direzione delle due rette sono:

[1, 1, 1] e  [-3, -2, 1]

Risultando i rapporti delle coordinate omologhe diversi fra loro:

1/(-3) ≠ 1/(-2) ≠ 1/1------> rette non parallele

Vediamo inoltre se le due rette non sono incidenti, allo scopo scriviamo tre equazioni:

{1 + t = 3 - 3·k

{-1 + t = - 2·k

{1 + t = k

questo sistema è IMPOSSIBILE. Quindi le due rette assegnate sono SGHEMBE nello spazio

Continuo dopo...

Riprendo.

La 1^ e la 3^ forniscono:

3 - 3·k = k----> k = 3/4 quindi  1 + t = 3/4----> t = - 1/4

inseriti tali valori nella seconda:

-1 +(- 1/4) = - 2·(3/4)-----> - 5/4 = - 3/2 NO!!! (ho verificato l'impossibilità!)

Considero ora il fascio di piani:

x - y + z - 3 + λ·(2·x - 3·y - 6) = 0

ossia:  x·(2·λ + 1) - y·(3·λ + 1) + z - 6·λ - 3 = 0

Le componenti date dai coefficienti delle incognite individuano un vettore perpendicolare allo stesso piano:

[2·λ + 1, - (3·λ + 1), 1]

il vettore direzione dell'altra retta è:

[1, 1, 1]

La condizione di perpendicolarità fra i due vettori si scrive:

(2·λ + 1)·1 - (3·λ + 1)·1 + 1·1 = 0-----> 1 - λ = 0----> λ = 1

Questa condizione permette di determinare un piano che risulta parallelo alla retta s:

x·(2·1 + 1) - y·(3·1 + 1) + z - 6·1 - 3 = 0

3·x - 4·y + z - 9 = 0

A questo punto, tutti i punti della retta s hanno la stessa distanza dal piano trovato. Ne scegliamo uno qualsiasi ad esempio quello ottenuto per t = 0.

[1, -1, 1]

La distanza di esso dal piano trovato è:

d = ABS(3·1 - 4·(-1) + 1 - 9)/√(3^2 + (-4)^2 + 1^2)

d = √26/26