Buongiorno, nella foto in alto c’è la traccia dell’esercizio e in basso il mio risultato sbagliato, al posto di 2/3 deve esserci 1/2 ma non riesco a capire perché. Qualcuno può aiutarmi? Premetto che non è stato svolto con il metodo di sostituzione in quanto non è stato affrontato dal professore.
30
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Livello 0
Si tratta dell'integrale di una funzione composta, dato che sotto radice abbiamo la funzione $f(x)=1+x^4$.
Per risolvere l'integrale abbiamo bisogno che compaia la derivata dell'argomento, quindi in questo caso:
$f'(x) = 4x^3$
Nell'integrale compare già $x^3$, ma ci manca il 4, quindi procediamo moltiplicando e dividendo per 4:
$ \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^4}}dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^3}{\sqrt{1+x^4}} dx$
Integriamo la radice considerandola come una potenza:
$ \frac{1}{4} \int 4x^3(1+x^4)^{-1/2} dx = \frac{1}{4} \frac{(1+x^4)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + c$
Svogliamo i calcoli per semplificare il risultato:
$ \frac{1}{4} \frac{(1+x^4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = \frac{1}{4}*2 \sqrt{1+x^4} +c = \frac{1}{2}\sqrt{1+x^4} +c$
Noemi
9382
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Livello 5
La derivata di x^4 é 4x^3
Moltiplico e divido per 4 per farlo comparire
S 1/4 * 4x^3/sqrt (1 + x^4) dx =
separo 1/4 in 1/2 * 1/2 e uno lo porto fuori.
Questo serve a far comparire 1/(2 sqrt()) che ha
integrale immediato
= 1/2 S (4x^3) dx/(2 sqrt(1 + x^4)) dx =
= 1/2 sqrt (1 + x^4) + C
Questo processo si chiama "sostituzione immediata"
37030
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Livello 6
