Si tratta dell'integrale di una funzione composta, dato che sotto radice abbiamo la funzione $f(x)=1+x^4$.
Per risolvere l'integrale abbiamo bisogno che compaia la derivata dell'argomento, quindi in questo caso:
$f'(x) = 4x^3$
Nell'integrale compare già $x^3$, ma ci manca il 4, quindi procediamo moltiplicando e dividendo per 4:
$ \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^4}}dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^3}{\sqrt{1+x^4}} dx$
Integriamo la radice considerandola come una potenza:
$ \frac{1}{4} \int 4x^3(1+x^4)^{-1/2} dx = \frac{1}{4} \frac{(1+x^4)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + c$
Svogliamo i calcoli per semplificare il risultato:
$ \frac{1}{4} \frac{(1+x^4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = \frac{1}{4}*2 \sqrt{1+x^4} +c = \frac{1}{2}\sqrt{1+x^4} +c$
Noemi