Il mondo e' pieno di sciocchezze ma quando si tratta di insegnare gli autori sono avarissimi di spiegazioni.
(mortacci loro)
Chi mi spiega questo integrale per parti ?
Per valutare l'energia cinetica di una particella usando la nuova definizione di quantità di moto, procediamo come nel caso della meccanica newtoniana. Cioè, ricordando che $\boldsymbol{v}=d \boldsymbol{r} / d t$, otteniamo
$$
E_k=\int_0^v F \cdot d r=\int_0^v \frac{d}{d t}\left(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}\right) \cdot d r=\int_0^v v \cdot d\left(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}\right)
$$
Integrando per parti (v. Eq. M.41), e notando che $\boldsymbol{v} \cdot d \boldsymbol{v}=v d v$, abbiamo
$$
\begin{aligned}
E_k & =\frac{m_0 v^2}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}-\int_0^v \frac{m_0 v d v}{\sqrt{1-v^2 / c^2}} \\
& =\frac{m_0 v^2}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}+m_0 c^2 \sqrt{1-v^2 / c^2}-m_0 c^2
\end{aligned}
$$
Conglobando in uno i primi due termini a destra, otteniamo infine l'energia cinetica di una particella che si muove con velocità $v$ rispetto a un osservatore:
$$
E_k=\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}-m_0 c^2 \quad \text { o } \quad E_k=\left(m-m_0\right) c^2
$$
