[Risolto] Piramide regolare a base quadrata

Riconoscendo nel dato «l'altezza 'h' è 4/5 dell'apotema 'a'», cioè h = 4*a/5, la minima terna pitagorica (3, 4, 5) si deduce che la metà dello spigolo 'b' di base sta ad 'a' come 3/5 e quindi b = 6*a/5. Ne derivano le aree
* di base B = b^2 = 36*a^2/25
* laterale L = 4*b*a/2 = 12*a^2/5
* totale T = B + L = 96*a^2/25
e il volume della piramide
* V(h) = B*h/3 = (12*a^2/25)*h = 48*a^3/125
che, alla luce del prossimo quesito, conviene riscrivere (con a = (5/4)*h) come
* V(h) = (3/4)*h^3
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"A quale distanza 'x' dal vertice ..." si stacca una piramidina con
* V(x)/V(h) = 1/(63 + 1) ≡
≡ ((3/4)*x^3)/((3/4)*h^3) = 1/64 ≡
≡ x = h/4
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Dal dato «ha l'area della superficie totale di 384 cm^2» e dal fatto che i simboli (a, b, h) rappresentano valori positivi si ha (con misure in cm, cm^2, cm^3)
* (96*a^2/25 = 384) & (a > 0) ≡
≡ (a = ± 10) & (a > 0) ≡
≡ a = 10
da cui
* b = 12
* h = 8
* x = 2

 

@francesco_paone

Ciao

A = area totale piramide = x^2 + 4·(1/2·x)·a

essendo x= misura spigolo di base ed a= apotema laterale

Valgono i rapporti:

a/5 = h/4 = x/2/3 avendo introdotto h = altezza piramide

a/5 = x/2/3------> a = 5·x/6

Quindi:

A = y = x^2 + 4·(1/2·x)·(5·x/6)= 8·x^2/3

Deve quindi essere: 8·x^2/3 = 384----> x = -12 ∨ x = 12 cm spigolo di base

a = 5·12/6 = 10 cm

h = √(10^2 - (12/2)^2) ---->  h = 8 cm

verifichiamo con la relazione scritta in precedenza: h/4 = 12/2/3---> h = 8 cm

V = volume piramide = 1/3·12^2·8 = 384 cm^3

Sia ora δ l'altezza della piramidina staccata con un piano orizzontale

Anche per essa valgono i rapporti:

δ/4 = μ/2/3 essendo μ = 3·δ/2 spigolo di base di tale piramidina

v = 1/3·(3·δ/2)^2·δ-----> v = 3·δ^3/4 è il volume di tale piramidina

384 - 3·δ^3/4 = volume tronco di cono

3·δ^3/4/(384 - 3·δ^3/4) = 1/63

risolta fornisce: δ = 2 cm

(distanza richiesta)