Sul segmento AB = 1 determina il punto P tale che sia valida la relazione 3AP^2 + 2PB^2 = k, k /in R+
2 soluzioni per 6/5 <= k <= 2; 1 soluzione per 2 < k <= 3
Ho trovato un suggerimento secondo cui posso risolvere ponendo y = x^2 e studiando le intersezioni tra il fascio di rette e la parabola, ma non ho capito come ottenere il fascio di rette, grazie!!
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Livello 0
AP = x con 0 <= x <= 1
3x^2 + 2(1 - x)^2 = k
3x^2 + 2x^2 - 6x + 2 - k = 0
5x^2 - 6x + 2 - k = 0
y = x^2 parabola fissa
x = 0 x = 1 rette verticali di confine
5y - 6x + 2 - k = 0 fascio di rette improprio
Ricerca di kA, kB, retta per k = 0
A = (0,0) e B = (1,1) confini dell'arco utile
0 + 0 + 2 - kA = 0 kA = 0
5 - 6 + 2 - kB = 0 => kB = 1
per k = 0 5y - 6x = 0
resta da trovare kt
9 - 5(2 - k) = 0
- 1 + 5k = 0
kt = 1/5
Grafico e Conclusioni
https://www.desmos.com/calculator/wmshmexz5d
k < 1/5 nessuna soluzione
k = 1/5 una soluzione ordinaria
1/5 < k < 1 due soluzioni ordinarie
k = 1 due soluzioni, una limite
1 < k < 2 una soluzione ordinaria
k = 2 una soluzione limite
k > 2 nessuna soluzione
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Livello 6
Il risultato atteso che riporti dev'essere di un altro esercizio lì accanto.
Il suggerimento che riporti è superfluo, allungherebbe il brodo ristretto di una normalissima equazione quadratica.
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Sul segmento AB di cursore P, con |AB| = 1 e k ∈ R+, sia
* 3*|AP|^2 + 2*|PB|^2 = k ≡
≡ 3*x^2 + 2*(1 - x)^2 = k ≡
≡ x^2 - (4/5)*x + (2 - k)/5 = 0 ≡
≡ x = (2 ± √(5*(k - 6/5)))/5
Pertanto
* per k < 6/5: due radici complesse coniugate (è impossibile situare P).
* per k = 6/5: una radice reale doppia x = 2/5 (è possibile situare P in un solo posto).
* per k > 6/5: due radici reali distinte (x1 = (2 - √(5*(k - 6/5)))/5) oppure (x2 = (2 + √(5*(k - 6/5)))/5).
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Genius I
