[Risolto] geometria euclidea e pitagora

Un quadrilatero è circoscrivibile se la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due;

la somma delle basi del trapezio  è uguale alla somma dei lati obliqui.

Disegno di @stefanopescetto

Il triangolo BOC  è rettangolo in O;

infatti i due triangoli OHB e BOH rettangoli, sono uguali, hanno OB in comune e OH = Om che sono raggi del cerchio.

Gli angoli MOB e BOH sono uguali.

Gli angoli NOC e COH sono uguali;

Sommando i 4 angoli abbiamo 180°; togliamo da 180° NOC e MOB resta l'angolo BOC = 180° / 2 = 90°;

BC è l'ipotenusa del triangolo BOC;

BC^2 = BO^2 + CO^2;

Stessa cosa con l'altro lato obliquo  AD.

AD^2 = AO^2 + DO^2;

BC^2 + AD^2 = BO^2 + CO^2 + AO^2 + DO^2;

BO; CO; AO; DO; sono le distanze dei vertici dal centro O.

Ciao  @xdelst

Se tracci i raggi perpendicolari ai lati

per il teorema dei segmenti di tangente DC = a + b, BC = b + c

AB = d + c, AD = a + d

e quello che devi dimostrare é che

(a + d)^2 + (b + c)^2 = a^2 + r^2 + b^2 + r^2 + c^2 + r^2 + d^2 + r^2

che significa

a^2 + d^2 + 2ad + b^2 + c^2 + 2bc = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 4r^2

2(a d + b c) = 4 r^2

Questo é vero in quanto :

ad = r^2 per il II teorema di Euclide e bc = r^2 per la stessa ragione

I triangoli OAD e OBC sono rettangoli per una dimostrazione precedente che

sicuramente avete studiato : BOC = p^ + q^   con 2p^ + 2q^ = 180°.

Quel che c'è da sapere è che i sei angoli evidenziati in rosso sono rettangoli :

i 4 in corrispondenza di T e T' servono per applicare Pitagora ai triangoli :

# AOT'

#DOT'

# BOT

# COT

nel determinare la lunghezza tra centro e vertici , mente quelli al centro rendono possibile applicare Euclide 2° ai triangoli BCO e ADO e validare le uguaglianze BT*CT = r^2 e AT'*DT' = r^2 

distanze vertici-centro

(AO)^2 = (AT')^2+r^2

(DO)^2 = (DT')^2+r^2

(BO)^2 = (BT)^2+r^2

(CO)^2= (CT)^2+r^2

lati obliqui 

AD^2 = (AT'+DT')^2 = (AT')^2+(DT')^2+2*AT'*DT'

BC^2 = (BT+CT)^2 = (BT)^2+(CT)^2+2*BT*CT

mettendo a confronto le 2, l'uguaglianza si verifica se  4r^2 = 2*AT'*DT'+2BT*CT

r^2 = AT'*DT' = BT*CT come da Euclide 2°