[Risolto] Funzioni omografiche e iperbole

@giorgio_melone

Ciao di nuovo.

escludendo il caso di k=1 per cui le funzioni omografiche degenerano nella retta y=1/2:

y = (1·x + 1)/((1 + 1)·x + 2·1)-----> y = 1/2

per la funzione parametrica: y = (k·x + 1)/((k + 1)·x + 2·k)

abbiamo come asintoti :

{y = k/(k + 1) asintoto orizzontale

{x = - 2·k/(k + 1) asintoto verticale

che determinano al variare di una retta su cui sono disposti i centri delle funzioni omografiche:

dalla seconda: k = - x/(x + 2)

quindi:

y = (- x/(x + 2))/(- x/(x + 2) + 1)-----> y = - x/2

Per l'ultima domanda si dovrà porre: 

- 2·k/(k + 1)=-4-----> k = -2

quindi la funzione:

y = ((-2)·x + 1)/((-2 + 1)·x + 2·(-2))-------> y = (2·x - 1)/(x + 4)

Ma sì, che più d'uno saprebbe! Non fare lo gnorri.
Se non l'avessi già saputo mica avresti pubblicato la domanda, no?
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Il fascio
* Γ(k) ≡ y = (k*x + 1)/((k + 1)*x + 2*k)
presenta tre casi degeneri con calo di grado per k in {- 1, - 1/2, 1} ...
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A) Una retta semplice con pendenza m = 1/2.
* Γ(- 1) ≡ y = (x - 1)/2
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B) Due rette semplici con pendenza m = 0 (parallele all'asse x).
* Γ(- 1/2) ≡ y = - 1
* Γ(1) ≡ y = 1/2
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... e il caso generale per k non in {- 1, - 1/2, 1}
* Γ(k) ≡ (y = (k*x + 1)/((k + 1)*x + 2*k)) & (k non in {- 1, - 1/2, 1})
con
* asintoto verticale x = - 2*k/(k + 1)
* asintoto orizzontale y = k/(k + 1)
* centro C(- 2*k/(k + 1), k/(k + 1))
* luogo dei centri y = - x/2
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"determina ... come asintoto ... x=-4 ..."
* asintoto verticale x = - 2*k/(k + 1) = - 4 ≡ k = - 2
* Γ(- 2) ≡ y = ((- 2)*x + 1)/(((- 2) + 1)*x + 2*(- 2)) ≡
≡ y = (2*x - 1)/(x + 4)
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"... e rappresentala graficamente"
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+of+y%3D%282*x-1%29%2F%28x%2B4%29
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2B4%29*%28y-2%29%3D0%2Cy%3D%282*x-1%29%2F%28x%2B4%29%5Dx%3D-33to33%2Cy%3D-33to33