[Risolto] funzione lineari

Una funzione y = f(x) è strettamente crescente in ogni ascissa dove sia derivabile e dove il suo grafico abbia tangente con pendenza m(x) positiva, cioè là dove f'(x) = dy/dx = m(x) > 0.
La funzione
* f(x, k) = y = (k^3 - 9*k)*x + (k - 2)
dove i simboli (k, x, y) sono nomi di variabili reali (k parametro, x indipendente, y funzione) rappresenta un fascio proprio di rette, privo della parallela all'asse y, centrato in C(1/5, - 2), di pendenza m(k) = y = k^3 - 9*k = (k + 3)*k*(k - 3) e punti d'intercetta irrilevanti per questo problema. Invece è rilevante la sola pendenza che, trattandosi di rette, non dipende dall'ascissa.
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La risposta alla consegna è la soluzione della disequazione polinomiale in k
* m(k) = (k + 3)*k*(k - 3) > 0
dove il polinomio ha tre zeri reali per k in {- 3, 0, 3} e segno costante, e alterno fra intervalli adiacenti, in ciascuno dei quattro intervalli che essi delimitano sull'asse reale k; perciò per decidere i segni basta una sola valutazione di m(k), ad esempio m(- 6) = - 162 < 0.
Ne viene che
* per k < - 3: m(k) < 0
* per k = - 3: m(k) = 0
* per - 3 < k < 0: m(k) > 0
* per k = 0: m(k) = 0
* per 0 < k < 3: m(k) < 0
* per k = 3: m(k) = 0
* per k > 3: m(k) > 0