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circonferenza

  

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Determina le equazioni delle rette parallele alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante che individuano sulla circonferenza di equazione x2 + y2 - 6x = 0 una corda di misura 2.

Risultato:

x+y+1=0; X+y - 7=0

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y = -x + q

 

x^2 + (-x + q)^2 -6x = 0

x^2 + x^2 - 2qx - 6x + q^2 = 0

2x^2 - 2(q + 3)x + q^2 = 0

Dr = 4(q+3)^2 - 8q^2 = 4q^2 + 24q + 36 - 8q^2 = -4q^2 + 24q + 36

La lunghezza della corda intercettata é

L = sqrt(Dr)/|A| * sqrt(1 + m^2) = 2

Dr/A^2 (1+m^2) = 4

(-4q^2 + 24q + 36)/4 *(1+1) = 4

(-q^2 + 6q + 9) = 2

q^2 - 6q - 7 = 0

q = (3+- rad(9 + 7)) = 3 +- 4 = -1 V 7

le due rette sono quindi

y = - x + q

x + y - q = 0

r1) x + y + 1 = 0

r2) x + y - 7 = 0



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Il fascio improprio delle parallele alla bisettrice dei quadranti pari (m = - 1) ha per parametro l'intercetta q
* p(q) ≡ y = q - x
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La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 6*x = 0 ≡ (x - 3)^2 + y^2 = 3^2
ha raggio r = 3 e centro C(3, 0) per il quale passa la
* p(3) ≡ y = 3 - x
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Nella circonferenza di raggio r la corda lunga c, con 0 < c < 2*r, dista dal centro d = √(4*r^2 - c^2)/2.
Per r = 3 e c = 2 si ha
* d = √(4*3^2 - 2^2)/2 = 2*√2
---------------
La distanza fra p(a) e p(b) è
* d = |a - b|/√2 ≡ |a - b| = Δq = d*√2
che, per d = 2*√2, dà Δq = 4; quindi le rette richieste sono
* p(3 ± 4) ≡ y = (3 ± 4) - x
Il risultato atteso
* "x+y+1=0; x+y - 7=0" ≡ y = - 1 - x; y = 7 - x
è proprio quello.

 



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