[Risolto] Funzione esponenziale e logaritmi

Ciao!

Esercizio 1:

$\log_3 (2x+3) <\log_3 (x-4) $

Per prima cosa dobbiamo svolgere le condizioni di esistenza dei logaritmi:

$\begin{cases} 2x+3 > 0 \\ x-4 > 0 \end{cases} $

$\begin{cases} x > -\frac32 \\ x > 4 \end{cases} $

che ci dà: $ x > 4 $

Dato che abbiamo un confronto tra due logaritmi con base maggiore di 1 (infatti ha base $3$, possiamo passare direttamente al confronto tra gli argomenti mantenendo invariato il segno di disequazione:

$2x+3 < x-4 $

$ x < -7 $

Dobbiamo però confrontarlo con le condizioni di esistenza:
$\begin{cases} x > 4 \\ x < -7 \end{cases} $

che risulta impossibile. 

 

Esercizio 2:

$\log_\frac12 (3x) - \log_\frac12 (x+2) > 1 $

Facciamo inanzitutto le condizioni di esistenza:

$\begin{cases} 3x> 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} $

$\begin{cases} x > 0 \\ x > -2 \end{cases} $

che ci dà: $ x > 0 $

$\log_\frac12 (3x) - \log_\frac12 (x+2) > 1 $

Mettiamo insieme i primi due logaritmi con la regola della differenza di logaritmi: 

$\log_a (b) - \log_a (c) = \log_a \frac{b}{c} $

$\log_\frac12 (\frac{3x}{x+2})> 1 $

Trasformiamo $1$ in logaritmo: $ 1 = \log_a (a) $ e dato che ci serve un logaritmo in base $\frac12$ usiamo quella base:

$\log_\frac12 (\frac{3x}{x+2})>\log_\frac12 \frac12 $

Possiamo confrontare i due logaritmi: essi hanno però base $< 1$ quindi il segno della disequazione va cambiato:

$\frac{3x}{x+2} < \frac12 $ che svolgiamo normalmente.

$ \frac{6x}{2(x+2)} < \frac{ x+2}{2} $

$6x < x+2 $

$5x < 2 $

$ x < \frac25 $

Confrontandolo con il dominio: 

$\begin{cases} x > 0 \\ x < \frac25 \end{cases} $

che ci dà come risultato: $ 0 < x < \frac25 $

Esercizio 3

$2 3^{x+2} = 2^ {x+1}$ 

Spezziamo i vari esponenziali: $ 2 \cdot 3 ^x \cdot 3^2 = 2^x \cdot 2 $

e portiamo a sinistra gli elementi con la $x$ e a destra gli elementi senza $x$, dividendo o moltiplicando per i termini che vogliamo spostare. (Attenzione: possiamo farlo con serenità perché gli esponenziali sono sempre positivi e non incappiamo in nessun problema di esistenza) 

$ \frac{3^x}{2^x} = \frac{ 2 }{2 \cdot 3^2} $

$ \frac{3^x}{2^x} = \frac{1}{3^2} $

$ \frac{3}{2}^x = \frac{1}{3^2} $

Notiamo che non possiamo portare il termine di destra ad avere la stessa base di quello di sinistra, quindi dobbiamo necessariamente passare al logaritmo con la stessa base dell'esponenziale, quindi $\log_\frac32$. Logaritmo ed esponenziale sono inversi l'uno dell'altro, quindi si "elidono" e rimane $x$:

$ x = \log_\frac32 ( \frac{1}{3^2} ) $

Esercizio 4

$\log (1+x) + 2 \log(\sqrt{1-x}) = \log(9-6x) $

Usiamo prima la proprietà dei logaritmi che permettere di portare i coefficiente all'epsonente dell'argomento: $n \log(x) = \log (x^n) $

$\log (1+x) +  \log((\sqrt{1-x})^2) = \log(9-6x) $

$\log (1+x) + \log(1-x) = \log(9-6x) $

Ora usiamo la proprietà della somma di logaritmi: $\log(a) + \log(b) = \log(a \cdot b) $

$\log ( (1+x)(1+x) ) = \log(9-6x) $

Adesso possiamo tranquillamente confrontare gli argomenti:

$(1+x)(1-x) = 9-6x $

$ 1-x^2 =9-6x $

$-x^2 +6x -8 = 0$

$x^2-6x +8 $

$x = 2 \vee x = 4 $

Per vedere se sono accettabili, però, dobbiamo fare le condizioni di esistenza:

$\begin{cases} 1+x > 0 \\ \sqrt{1-x} > 0 \\ 1-x \geq 0 \\ 9 - 6x > 0 \end{cases} $

$\begin{cases} x > -1 \\ x \neq 1 \\ x \leq 1 \\ x < \frac32 \end{cases} $

che ci dà: 

$ -1 < x < 1 $ 

che rendono non accettabili nessuna delle condizioni trovate in precedenza. Dunque l'equazione è impossibile.