Forme bilineari

Proviamo inizialmente il teorema per $dimV=2$.

Sia $B_V=\{v_1,v_2\}$ una base. Possiamo sempre trovare due vettori linearmente indipendenti tali che $g(v_1,v_2)=1$. Se così non fosse infatti potremmo ragionare come segue: sia

$g(v_1,v_2)= k$

Possiamo allora considerare il vettore $w_2=\frac{1}{k} v_2$ in modo che:

$g(v_1,w_2)= 1$

Inoltre poiché $g$ è antisimmetrica abbiamo:

$g(w_2, v_1) = -1$

e ovviamente

$ g(v_1, v_1)=g(w_2, w_2)=0$.

Possiamo dunque associare a $g$ la matrice 

$G=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$

Vediamo ora cosa succede se $dimV>2$.

Sia dunque $\{v_1,...,v_n\}$ una base di V.

Senza ledere le generalità, possiamo considerare due vettori $v_1$ e $w_1$ linearmente indipendenti e considerare lo spazio $W_1=<v_1,w_1>$ da essi generato.

La forma $g_{|W_1}$ ristretta al sottospazio $W_1$ ha matrice associata $G$ per quanto detto prima. 

Consideriamo dunque la decomposizione $V=W_1\mathop{{\bigoplus}}W_1^{\perp}$.

Ora abbiamo due possibilità:

- $dim W_1^{\perp}$ è pari 

- $dim W_1^{\perp}$ è dispari

Se $dim W_1^{\perp}$ è pari allora possiamo considerare altri due vettori linearmente indipendenti $v_2$ e $w_2$ tali che $g(v_2, w_2)=1$ e $W_2=<v_2,w_2>$.

E' ovvio che possiamo nuovamente associare la matrice $G$ alla forma $g_{|W_1}$, inoltre abbiamo che $g(v_i, w_j)=\delta_{ij}$ essendo $W_1$ e $W_2$ ortogonali.

Procedendo allo stesso modo su $W_2^{\perp}$ si costruisce per ogni coppia di vettori linearmente indipendenti un blocco $G$, per cui alla fine otteniamo la matrice a blocchi $\begin{pmatrix}
G & 0 \\
0 & G
\end{pmatrix}$.

Supponiamo ora che $dim W_1^{\perp}$ sia dispari.

In tal caso potremmo procedere come prima, prendendo coppie di vettori linearmente indipendenti per costruire una matrice a blocchi come indicato in precedenza, e alla fine ci rimarrebbe un unico vettore $v_n$ non accoppiato a nulla. Esso sarebbe inoltre perpendicolare ad ogni altro vettore già considerato nelle basi dei sottospazi $W_1,..., W_{n-1}$ pertanto otterremmo una matrice del tipo:

$M=\begin{pmatrix}
G & 0 & \dots&0\\
0 & G & \dots&0 \\
0 & 0 &\dots&0
\end{pmatrix}$

in cui l'ultima riga sarebbe completamente nulla e dunque $detM=0$ ma allora la forma sarebbe degenere in contraddizione con l'ipotesi $g$ non degenere.

Dunque lo spazio deve avere necessariamente dimensione pari.

Noemi