Esercizio 1. Sia $R _2[x]$ lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a due, e si consideri su di esso la forma bilineare simmetrica data da
$$
R _2[x] \times R _2[x] \ni(p, q) \mapsto b(p, q)=p(0) q(0)+p^{\prime}(0) q^{\prime}(0)+p(1) q(1)
$$
Dimostrare che $\left( R _2[x], b\right)$ è uno spazio vettoriale euclideo e completare $\left\{x^2\right\}$ ad una base $b$-ortonormale per $R _2[x]$.
Dato l'operatore lineare $T: R _2[x] \rightarrow R _2[x]$ definito da
$$
T(1)=2 x^2-2 x+1, \quad T(x)=-x^2, \quad T\left(x^2\right)=-x+1
$$
stabilire se $T$ è $b$-autoaggiunto e, in caso affermativo, dire se è vero o falso - giustificando la risposta - che ogni base di $R _2[x]$ costituita da autovettori per $T$ è $b$-ortogonale.
