buonasera, come si svolge questo problema?
Un punto materiale si muove con velocità v(t)= 3,6 t^3 i+4,6 cos(t) j. Se al tempo t=0 si trova nell'origine degli assi qual è la distanza dall'origine al tempo 3,2 secondi?
potete spiegarmi come svolgerlo e le varie formule da utilizzare, grazie
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Livello 1
Ciao, io lo risolverei così:
Inizialmente farei un sistema con due equazioni:
- nella prima sostituisci t = 0, così trovi il valore di j
- nella seconda sostuisci t = 3.2 e j = valore trovato nella prima eq.
Nel piano cartesiano l'ascissa è il tempo (t) e l'oridinata è la velocità (v)
Dopo aver risolto il sistema abbiamo quindi due punti:
1) P1 = (0,0), è il punto iniziale e lo deduciamo dalla consegna
2) P2 = (3.2, d2). d2 è la distanza a t = 3.2 e si trova con la formula della velocità (v = d/t), quindi d=vt
Infine, trovato P2, applico la formula della distanza tra due punti perchè la consegna chiede la distanza dall'origine, che coincide con il nostro P1.
d(P1,P2) = rad((x2-x1)^2 + (y2 - y1)^2)
360
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Livello 1
"come svolgerlo": v. infra
"formule da utilizzare": nessuna, solo procedure!
* riscrivere un vettore dalla rappresentazione con i componenti (maschili) in quella con le componenti (femminili);
* integrare nella variabile t;
* applicare il Teorema di Pitagora.
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* "v(t)= 3,6 t^3 i+4,6 cos(t) j" ≡
≡ v(t) = ((18/5)*t^3)*i + ((23/5)*cos(t))*j ≡
≡ V(t) = ((18/5)*t^3, (23/5)*cos(t))
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La velocità è la derivata temporale della posizione
* V(t) = d/dt P(t) ≡
≡ P(t) = ∫ V(t)*dt ≡
≡ P(t) = ∫ ((18/5)*t^3, (23/5)*cos(t))*dt ≡
≡ P(t) = (∫ ((18/5)*t^3)*dt, ∫ ((23/5)*cos(t))*dt) ≡
≡ P(t) = (X + (9/10)*t^4, Y + (23/5)*sin(t))
---------------
"al tempo t=0 si trova nell'origine" ≡ (X, Y) = (0, 0)
quindi
* P(t) = ((9/10)*t^4, (23/5)*sin(t))
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"la distanza dall'origine al tempo T = 3,2 secondi = 16/5 s" è il modulo del raggio vettore di P(T), cioè
* ρ(t) = √(x^2(t) + y^2(t)) =
= √(((9/10)*t^4)^2 + ((23/5)*sin(t))^2) =
= (9/10)*√(t^8 - (1058/81)*(cos(2*t) + 1)) m
valutato per t = 16/5 s, cioè
* ρ(T) = (9/10)*√((16/5)^8 - (1058/81)*(cos(2*16/5) + 1)) =
= √((173739534863 - 206640625*cos(32/5))/2)/3125 ~=
~= 39872/423 ~= 94.260 m
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Genius I
La posizione é l'integrale del vettore
v = 3.6 t^3 i + 4.6 cos t j
r = 0.9 t^4 i + 4.6 sin t j + C
C é il vettore nullo
Hai allora
r* = 0.9 * 3.2^4 i + 4.6 sin 3.2 j
|r*| = sqrt [(0.9*3.2^4)^2 + (4.6*sin(3.2))^2] = 94.372 m circa
58350
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Livello 7
Una domanda, da dove esce 0,9? e perché poi ^4?
@Giusss ...ʃ 3,6*x^3 = 3,6/4*x^4 (si eleva x a (3+1) e si divide la costante 3,6 per (3+1) ....sospettavo che tu non conoscessi gli integrali e per questo motivo non ti ho risposto ; rimane da chiedersi che senso ha dare problemi di questa fatta a studenti privi delle conoscenze matematiche per farvi fronte
@Giusss ...volendo sottilizzare, il risultato meglio approssimato è quello di Eidos (94,3721..)
@eidosm capito! Grazie mille.
