[Risolto] EUREKA, problemi con le rette

@giorgii

Ciao. A(1,2) vertice del quadrato, sta sulla retta data. Verifichiamolo:

x - 2·y + 3 = 0----->1 - 2·2 + 3 = 0---->0 = 0 ------> OK!

Determino ora B(x,0)

Esplicito la retta data : y = x/2 + 3/2----->m=1/2

Scrivo la retta per A(1,2) con coefficiente angolare m'=-2 ( condizioni di perpendicolarità)

y - 2 = - 2·(x - 1)------>y = 4 - 2·x

Che metto a sistema con asse x:

{y = 4 - 2·x

{y=0---------------------->[x = 2 ∧ y = 0]------> B(2,0)

Retta BC  (m=1/2 condizione di parallelismo alla retta data) passante per B(2,0)

y - 0 = 1/2·(x - 2)------>y = x/2 - 1-------->(x,x/2-1) è un suo generico punto

Il lato del quadrato AB vale:

AB=√((2 - 1)^2 + (0 - 2)^2) = √5

Quindi deve essere: √((2 - x)^2 + (0 - x/2 + 1)^2) = √5

elevo al quadrato:

(x^2 - 4·x + 4) + (x^2/4 - x + 1) = 5----->5·x^2/4 - 5·x + 5 = 5 (*4)

x^2 - 4·x = 0----> x·(x - 4) = 0 quindi: x = 4 ∨ x = 0

Dovendo essere C nel 1° quadrante, la seconda la escludo perché darebbe una ordinata negativa.

Qundi Yc=4/2 - 1 = 1 ------->C(4,1)

per trovare le coordinate di D:

passaggio per C coefficiente angolare m=-2:

y - 1 = - 2·(x - 4)----->y = 9 - 2·x

che metto a sistema con la retta data inizialmente:

{y = 9 - 2·x

{y = x/2 + 3/2

risolvo ed ottengo:[x = 3 ∧ y = 3]------>D(3,3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

per x = 1 , y = x/2+3/2 = 2 , quindi il vertice A(1;2) è sulla retta y = x/2+3/2 con pendenza m = 0,5

retta perpendicolare :

y' = -2x+q 

per y' = 2 ed x = 1 (vertice A dato) , q = 2+2 = 4 

y' = -2x+4 con pendenza m' = -2

per y' = 0, x = 4/2 = 2 (ascissa per secondo vertice B con coordinate (2;0) )

il lato AB ha pendenza m = -2/1, per cui il lato BC deve avere pendenza m' = -1/m = 0,5 come quello della retta data 

il vertice C avrà coordinate ((2+2) ; 1)

il vertice D avrà coordinate ((1+2) ; (2+1))

il lato vale √2^2+1 = √5 e l'area vale 5 

 

BRAVISSIMA, trascrizione eccellente e quasi fedele (l'indivia, cicorina belga, è ottima per l'insalata; un po' meno per la geometria!).
NOTA: "eureka" (εὕρηκα) significa "trovài" e si usa per dire "ebbi un'intuizione geniale".
Che cosa vedi di geniale nel trovare "problemi con le rette"?
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La data retta r su cui giace un lato
* r ≡ x - 2*y + 3 = 0 ≡ y = (x + 3)/2
ha pendenza m = 1/2; le sue perpendicolari, su cui giacciono altri due lati, hanno pendenza antinversa m' = - 1/m = - 2 e formano il fascio
* p(q) ≡ y = q - 2*x
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Il dato vertice A(1, 2), con 2 = (1 + 3)/2, giace su r. Quindi da
* 2 = q - 2*1 ≡ q = 4
si ottiene la retta di un secondo lato
* p(4) ≡ y = 2*(2 - x)
che interseca l'asse x nel vertice
* B(2, 0)
così individuando sia la misura del lato
* L = |AB| = √5
che la retta s, parallela ad r per B,
* s ≡ y = (x - 2)/2
su cui cade il vertice C.
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Intersecando
* r con la circonferenza Γr, centrata in A e di raggio L,
* s con la circonferenza Γs, centrata in B e di raggio L,
si ottengono le coordinate dei vertici C e D nel primo quadrante
* r & Γr ≡ (y = (x + 3)/2) & ((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5) ≡ D'(- 1, 1) oppure D(3, 3)
* s & Γs ≡ (y = (x - 2)/2) & ((x - 2)^2 + y^2 = 5) ≡ C'(0, - 1) oppure C(4, 1)