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[Risolto] Estremi relativi della funzione integrale

  

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Sto svolgendo alcuni esercizi di riepilogo di Analisi in vista dell'esame di quinta.

Vorrei capire come svolgere questo che vi propongo perché non mi è molto chiaro.
"Determinare le ascisse degli estremi relativi della funzione
$$F(x)=\frac{x}{e}+\frac{1}{3} \int_{3 x}^{0} e^{\frac{t^{2}}{9}} d t$$

Quello che non capisco è come trattare i termini fuori dall'integrale. Conosco il procedimento nel senso che so che per trovare gli estremi relativi devo porre la derivata prima $=0$.
So che la derivata di $F(x)$ è uguale alla funzione integranda e nel mio caso sarebbe uguale $a-e^{3 x^{2}}$.

Ma come tratto gli altri termini; derivo normalmente?
Ho provato a fare così ma la soluzione non è corretta. Spero in in aiuto. 
Risposta $\pm 1$

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3 Risposte
1

Per chiarezza, riscriviamola come 

F(x) = x/e - (1/3) ∫[0,3x] e^(t²/9) dt

deriviamola usando la proprietà additiva dell'operatore derivata

F'(x) = (x/e)' - (1/3)e^((3x)²/9) * (3x)' = 1/e - e^x²

F'(x) < 0

Osserviamo che la derivata prima è negativa per ogni valore assegnato alla x

e di conseguenza la funzione F(x) è strettamente decrescente,

in altre parole, non vi sono punti stazionari.

 Possiamo così concludere che la funzione non ammette alcun estremo relativo. 




1

La derivata del primo addendo é 1/e

 

d/dx (1/3 S_[3x,0] e^(t^2/9) dt = - 1/3 d/dx S_[0, 3x] e^(t^2/9) dt

Detta G la primitiva non esprimibile in funzioni elementari

 

-1/3 d/dx [ G(3x) - G(0) ] = -1/3 * G'(3x) * 3 = - e^(t^2/9)|(t = 3x) = - e^(x^2)

e la condizione di stazionarietà diventa

 

e^(-1) - e^(x^2) = 0.

 

Controlla bene la traccia.

0

Può darsi che qualcuno (tu e/o io) abbia saltato qualcosa.
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Il risultato atteso non mi risulta, io trovo x = ± i; cioè totale assenza di estremi relativi reali.
Né mi risulta "sarebbe uguale a - e^(3*x^2)".
Guarda qui di seguito e giudica tu.
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* f(x) = ∫ [t = 3*x, 0] (e^(t/3)^2)*dt = - (3*√π/2)*erfi(x)
quindi
* F(x) = x/e + f(x)/3 = x/e - (√π/2)*erfi(x)
poiché
* d/dx erfi(x) = 2*e^(x^2)/√π
si ha
* dF/dx = 1/e - e^(x^2) = (1 - e^(x^2 + 1))/e
da cui le ascisse richieste, come soluzioni di
* dF/dx = 0 ≡ 1 = e^(x^2 + 1) ≡ x^2 = - 1 ≡ x = ± i
------------------------------
L'assenza di estremi relativi reali è confermata dal paragrafo "Plots" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%2Fe-%28%E2%88%9A%CF%80%2F2%29*erfi%28x%29
------------------------------
NOTA
Le esponenziali della "variabile al quadrato" non sono elementarmente integrabili e buttano sempre su qualche funzione della famiglia della gaussiana (erf, Dawson, ...).
Vedi al link
http://mathworld.wolfram.com/Erfi.html






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